Derivata seconda di una radice #6412

avt
beps92
Cerchio
Buongiorno a tutti, facendo un esercizio mi è venuto un dubbio sulla derivata seconda di una radice

\frac{d}{dx}\sqrt{1+x}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}

Giusto? Ma come faccio a calcolare la derivata seconda?


Applicando il teorema di derivazione della funzione inversa (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(x)} allora la derivata seconda dovrebbe essere \sqrt{1+x}, mentre se applico la formula della derivata di un quoziente mi viene-\frac{1}{2\sqrt{1+x}}.
Faccio qualche errore di calcolo, non posso usare una delle due formule oppure ho proprio sbagliato tutto? Perché il calcolatore mi dà ancora un altro risultato...

Grazie!
 
 

Re: Derivata seconda di una radice #6416

avt
cichia
Cerchio
Ciao emt Vediamola nei due modi. Prima con la regola per la derivata di una potenza per le potenze[/url] e con la derivazione della funzione composta

D(f(x)^\alpha)=\alpha\cdot f(x)^{\alpha-1}\cdot f^{'}(x)

D(\frac{1}{2\sqrt{1+x}})=\frac{1}{2}D(\frac{1}{\sqrt{1+x}})=\frac{1}{2}\sqrt{1+x}^{-\frac{1}{2}}=

\frac{1}{2}[-\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{1+x})^{-\frac{1}{2}-1}]=

perché f^{'}(x)=1

-\frac{1}{4}\sqrt{1+x}^{-\frac{3}{2}}=

-\frac{1}{4}\frac{1}{(x+1)\sqrt{x+1}}

Ora vediamola come fratta: raccogliamo comunque \frac{1}{2} davanti, e applichiamo la regola di derivazione del rapporto

\frac{1}{2}D(\frac{1}{\sqrt{x+1}})=

\frac{1}{2}\cdot \frac{0-(1\cdot D(\sqrt{x+1}))}{(\sqrt{x+1})^2}

=\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{2(x+1)\sqrt{x+1}}

=-\frac{1}{4}\frac{1}{(x+1)\sqrt{x+1}}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, beps92
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Os