Campo d'esistenza di una funzione irrazionale trigonometrica

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Campo d'esistenza di una funzione irrazionale trigonometrica #64043

avt
Antonio96
Punto
Salve a tutti, potreste aiutarmi a calcolare il campo d'esistenza di questa funzione irrazionale e trigonometrica?

y=\sqrt\frac{2\cos^2(x)+ \cos(x)}{4 \sin^2(x) +3}
 
 

Campo d'esistenza di una funzione irrazionale trigonometrica #64061

avt
Omega
Amministratore
Ciao Antonio emt

[Mod] Ti chiedo cortesemente di rispettare le linee guida del Forum (le hai lette?). In particolare ogni richiesta d'aiuto deve essere accompagnata da un tentativo di risoluzione, indipendentemente dal fatto che sia giusto o sbagliato, in cui bisogna esporre dettagliatamente i propri dubbi ed eventualmente fermarsi nel punto in cui ci si blocca. [/Mod]


Ti do uno spunto da cui partire: regole per trovare il dominio di una funzione.

Rispondi pure qui di seguito proponendo un tentativo di risoluzione, sarò lieto di rispondere ai tuoi dubbi e di mostrarti come svolgere correttamente l'esercizio. emt
Ringraziano: Galois

Campo d'esistenza di una funzione irrazionale trigonometrica #64069

avt
Antonio96
Punto
Mi scusi per la struttura della mia domanda, provvederò a leggere le linee guida.
Allora essendo una frazione, la pongo maggiore uguale a 0, dopodiché pongo il denominatore diverso da 0

4sin^2 x +3 \neq 0

a questo punto sono arrivato a

sin(x) \neq \sqrt \frac 3 4

Il problema è che non so come scrivere le soluzioni...

Campo d'esistenza di una funzione irrazionale trigonometrica #64096

avt
Omega
Amministratore
Ok, ora posso dirti: attenzione, impostazione e non gettarti nei calcoli. Osserva e ragiona prima di dare fuoco alle polveri. emt

Abbiamo a che fare con una funzione irrazionale

y=\sqrt\frac{2\cos^2(x)+ \cos(x)}{4 \sin^2(x) +3}

di cui vogliamo determinare il campo di esistenza (e i puristi mi perdoneranno se uso questo sinonimo di dominio).

Abbiamo due condizioni da prendere in considerazione:

- la radice ha indice pari, dunque il radicando va posto maggiore o uguale a zero;

- c'è un rapporto e il denominatore deve essere diverso da zero.

Entrambe le condizioni vanno messe a sistema

\begin{cases}\frac{2\cos^2(x)+ \cos(x)}{4 \sin^2(x) +3}\geq 0\\ 4\sin^2(x)+3\neq 0\end{cases}

Nota che la prima condizione - la disequazione fratta - include già implicitamente la seconda. Quando si studiano i segni di numeratore e denominatore si pone infatti il denominatore diverso da zero.

Dunque il sistema equivale all'unica condizione

\frac{2\cos^2(x)+ \cos(x)}{4 \sin^2(x) +3}\geq 0

per risolverla dobbiamo studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore. Comincio dal secondo (maggiore stretto e non maggiore-uguale)

DENOMINATORE: 4\sin^2(x)+3>0

E' qui che dobbiamo fare attenzione: abbiamo la somma di un quadrato e di un numero positivo. Tale somma è positiva per qualsiasi valore di x !

4\sin^2(x)+3>0\ \forall x\in\marhbb{R}


Passiamo al NUMERATORE

2\cos^2(x)+ \cos(x)\geq 0

abbiamo a che fare con una disequazione goniometrica. Risolviamola nell'intervallo [0,2\pi] ed estendiamo successivamente le soluzioni per periodicità.

Ehi, assomiglia tantissimo ad una disequazione di secondo grado spuria... emt

\cos(x)(2\cos(x)+1)\geq 0

quindi studiamo il segno dei due fattori, separatamente

\cos(x)\geq 0\ \to\ 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{3\pi}{2}\leq x\leq 2\pi

\cos(x)\geq -\frac{1}{2}\ \to\ 0\leq x\leq \frac{2\pi}{3}\ \vee\ \frac{4\pi}{3}\leq x\leq 2\pi

Dal confronto dei segni dei due fattori ci interessano i valori di x che rendono il prodotto positivo o nullo:

0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{2\pi}{3}\leq x\leq \frac{4\pi}{3}\ \vee\ \frac{3\pi}{2}\leq x\leq 2\pi

Queste sono le soluzioni della disequazione fratta nell'intervallo [0,2\pi]. Puoi estenderle per periodicità all'intero asse reale aggiungendo un +2k\pi agli estremi, con k\in\mathbb{Z}

Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R}\ t.c.\right.

\left. 2k\pi\leq x\leq \frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee\ \frac{2\pi}{3}+2k\pi\leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2k\pi\ \vee\ \frac{3\pi}{2}+2k\pi\leq x\leq 2(k+1)\pi\right\}
Ringraziano: Pi Greco, Galois
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Os