Insieme di arrivo di una funzione reale

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Insieme di arrivo di una funzione reale #63960

avt
Jennifer24
Cerchio
Ciao ragazzi, stavo per cominciare un esercizio in cui mi dice di rappresentare un grafico a seconda dei casi che mi vengono esposti, però ho avuto un'incertezza, ovvero mi dice che devo rappresentare il grafico di

f:\mathbb{R} \to [-3;4]

Scusate, non capisco a cosa si riferisce l'intervallo. Il dominio, l'insieme immagine, l'insieme di arrivo...?

Vi ringrazio se potete chiarirmi le idee. emt
 
 

Insieme di arrivo di una funzione reale #63974

avt
Omega
Amministratore
Ciao Jennifer,

innanzitutto vorrei rassicurarti: il tuo dubbio si riferisce ad una nozione molto semplice, quella di codominio di una funzione. emt

Il codominio non è nient'altro che l'insieme d'arrivo nella definizione di una funzione. Cioè, in

f:X\to Y

il codominio è Y. L'insieme di arrivo, per l'appunto. Nota che X,Y sono scritti in maiuscolo e indicano insiemi, non singoli elementi.

Nel caso delle funzioni reali di variabili reale

f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}

si considera in generale \mathbb{R} come codominio ma nulla ci vieta di considerare un insieme di arrivo più piccolo, come ad esempio un intervallo. E' il caso dell'esercizio che hai proposto

f:\mathbb{R}\to [-3,+4]

In questo caso stai considerando una funzione y=f(x) definita da una qualche legge, come ad esempio y=x^3, e la precedente scrittura ti dice semplicemente: considera la funzione limitando l'insieme di arrivo all'intervallo [-3,+4]. Tutto ciò che c'è al di fuori di questo intervallo non ti deve interessare.

Ad esempio se lavorassimo con la funzione y=x^3 definita come f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, avremmo

grafico cubica


Se decidiamo di considerare come codominio [-3,+4]

grafico cubica restrizione codominio


ci troveremmo all'atto pratico a lavorare con una nuova funzione, per l'appunto quella definita come

\tilde{f}:\mathbb{R}\to[-3,+4],\ \ \ \tilde{f}(x)=x^3

grafico cubica restrizione codominio 2


tutto quello che c'è al di fuori del rettangolo colorato non esiste per \tilde{f}. Questa tecnica si chiama restrizione del codominio e ci permette di costruire una nuova funzione a partire da una funzione data. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, Iusbe

Insieme di arrivo di una funzione reale #63977

avt
Jennifer24
Cerchio
Grazie infinite, mi hai chiarito tutto ciò che non avevo capito.emt
La spiegazione è chiarissima e ti ringrazio per la rappresentazione grafica. emt
Ringraziano: Omega

Insieme di arrivo di una funzione reale #63979

avt
Jennifer24
Cerchio
Scusate ancora,

Riferendomi nuovamente all'esercizio di prima, la prima consegna mi chiede di rappresentare un grafico con la condizione che f sia suriettiva e non iniettiva.

Io per far ciò potrei inventare qualunque tipo di grafico, considerando però che le immagini abbiano più di un'argomento, però come faccio poi a scrivere il grafico nella forma y=...?
Forse non è indispensabile che lo scriva, ma...vi sembra un metodo corretto? emt

Volevo chiedere un consiglio.
Grazie in anticipo!!

Insieme di arrivo di una funzione reale #63986

avt
Omega
Amministratore
Prego emt

Dato che l'esercizio ti chiede di rappresentare un grafico, non devi necessariamente scrivere l'espressione analitica esatta della funzione. Ciò in molti casi non è solo difficile, è addirittura impossibile(*).

Dunque ti basta disegnare il grafico in modo che la funzione che esso rappresenta soddisfi le richieste, e tanti saluti. emt

Mi raccomando: non dimenticare qual è l'unica richiesta nella definizione di funzione. Ad ogni elemento dello spazio di partenza deve corrispondere al massimo uno ed un solo elemento dello spazio di arrivo. In termini grafici, ad una x non può corrispondere più di un valore y.


Ultimo aiutino: vuoi una funzione f:\mathbb{R}\to [-3,+4] con dominio Dom(f)=\mathbb{R} e codominio [-3,+4], che sia suriettiva ma non iniettiva?

Dato che la vuoi suriettiva, l'immagine della funzione deve coincidere con il codominio e quindi la proiezione del grafico sull'asse delle y deve coprire tutto l'intervallo [-3,+4].

Dato che la vuoi non iniettiva, devono esserci almeno due ascisse x_1\neq x_2 in cui la funzione assume lo stesso valore: f(x_1)=f(x_2).

Ne vuoi una abbastanza facile di cui conosciamo anche l'espressione analitica? emt Considera

f(x)=\frac{7}{2}\sin(x)+\frac{1}{2}

funzione noto dominio codominio


Invece ne vuoi una con tutte le caratteristiche di cui sopra, ma con dominio contenuto propriamente nell'insieme di partenza? emt Considera

g:\mathbb{R}\to [-3,+4],\ \ \ g(x)=-3+\sqrt{\frac{49}{30}(6-x)(x+5)}

che ha dominio dato da Dom(g)=[-5,+6] e grafico

grafico ristretto



Lo ripeto per sicurezza: a te non è richiesto di scrivere le espressioni analitiche delle funzioni. emt


___
(*) C'è una branca della Matematica, detta Analisi Numerica, in cui tra le altre cose ci si occupa di determinare delle funzioni polinomiali che coprano un insieme di punti arbitrario (x_i,y_i) e che si occupa di approssimare grafici di funzioni di cui si conosce e non si conosce l'espressione analitica, studiandone l'errore. Questa sottobranca dell'Analisi Numerica va sotto il nome di Teoria dell'interpolazione. emt
Ringraziano: Pi Greco, Galois, BleakHeart, Jennifer24
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