Insieme di arrivo di una funzione reale

Ciao ragazzi, stavo per cominciare un esercizio in cui mi dice di rappresentare un grafico a seconda dei casi che mi vengono esposti, però ho avuto un'incertezza, ovvero mi dice che devo rappresentare il grafico di



Scusate, non capisco a cosa si riferisce l'intervallo. Il dominio, l'insieme immagine, l'insieme di arrivo...?

Vi ringrazio se potete chiarirmi le idee.

Ciao Jennifer,

innanzitutto vorrei rassicurarti: il tuo dubbio si riferisce ad una nozione molto semplice, quella di codominio di una funzione.

Il codominio non è nient'altro che l'insieme d'arrivo nella definizione di una funzione. Cioè, in



il codominio è . L'insieme di arrivo, per l'appunto. Nota che sono scritti in maiuscolo e indicano insiemi, non singoli elementi.

Nel caso delle funzioni reali di variabili reale



si considera in generale come codominio ma nulla ci vieta di considerare un insieme di arrivo più piccolo, come ad esempio un intervallo. E' il caso dell'esercizio che hai proposto



In questo caso stai considerando una funzione definita da una qualche legge, come ad esempio , e la precedente scrittura ti dice semplicemente: considera la funzione limitando l'insieme di arrivo all'intervallo . Tutto ciò che c'è al di fuori di questo intervallo non ti deve interessare.

Ad esempio se lavorassimo con la funzione definita come , avremmo



Se decidiamo di considerare come codominio



ci troveremmo all'atto pratico a lavorare con una nuova funzione, per l'appunto quella definita come





tutto quello che c'è al di fuori del rettangolo colorato non esiste per . Questa tecnica si chiama restrizione del codominio e ci permette di costruire una nuova funzione a partire da una funzione data.

Grazie infinite, mi hai chiarito tutto ciò che non avevo capito.
La spiegazione è chiarissima e ti ringrazio per la rappresentazione grafica.

Scusate ancora,

Riferendomi nuovamente all'esercizio di prima, la prima consegna mi chiede di rappresentare un grafico con la condizione che sia suriettiva e non iniettiva.

Io per far ciò potrei inventare qualunque tipo di grafico, considerando però che le immagini abbiano più di un'argomento, però come faccio poi a scrivere il grafico nella forma y=...?
Forse non è indispensabile che lo scriva, ma...vi sembra un metodo corretto?

Volevo chiedere un consiglio.
Grazie in anticipo!!

Prego

Dato che l'esercizio ti chiede di rappresentare un grafico, non devi necessariamente scrivere l'espressione analitica esatta della funzione. Ciò in molti casi non è solo difficile, è addirittura impossibile(*).

Dunque ti basta disegnare il grafico in modo che la funzione che esso rappresenta soddisfi le richieste, e tanti saluti.

Mi raccomando: non dimenticare qual è l'unica richiesta nella definizione di funzione. Ad ogni elemento dello spazio di partenza deve corrispondere al massimo uno ed un solo elemento dello spazio di arrivo. In termini grafici, ad una non può corrispondere più di un valore .


Ultimo aiutino: vuoi una funzione con dominio e codominio , che sia suriettiva ma non iniettiva?

Dato che la vuoi suriettiva, l'immagine della funzione deve coincidere con il codominio e quindi la proiezione del grafico sull'asse delle deve coprire tutto l'intervallo .

Dato che la vuoi non iniettiva, devono esserci almeno due ascisse in cui la funzione assume lo stesso valore: .

Ne vuoi una abbastanza facile di cui conosciamo anche l'espressione analitica? Considera





Invece ne vuoi una con tutte le caratteristiche di cui sopra, ma con dominio contenuto propriamente nell'insieme di partenza? Considera



che ha dominio dato da e grafico




Lo ripeto per sicurezza: a te non è richiesto di scrivere le espressioni analitiche delle funzioni.


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(*) C'è una branca della Matematica, detta Analisi Numerica, in cui tra le altre cose ci si occupa di determinare delle funzioni polinomiali che coprano un insieme di punti arbitrario e che si occupa di approssimare grafici di funzioni di cui si conosce e non si conosce l'espressione analitica, studiandone l'errore. Questa sottobranca dell'Analisi Numerica va sotto il nome di Teoria dell'interpolazione.