Rapporto incrementale di una funzione fratta con radice

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Rapporto incrementale di una funzione fratta con radice #63955

avt
Calabi
Cerchio
Volevo chiedervi a proposito del calcolo del rapporto incrementale di una funzione fratta con radice. Suppongo questa sezione sia più adatta che università emt

E' l'ottavo ed ultimo della pagina di esercizi sul rapporto incrementale.

Calcolare il rapporto incrementale della funzione

y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}

con x_{0}=+2 e con incremento h.


Come si procede?
Grazie mille emt
 
 

Rapporto incrementale di una funzione fratta con radice #63963

avt
Omega
Amministratore
Ciao Calabi emt

Se vogliamo calcolare il rapporto incrementale nel punto x_0=+2 per la funzione

f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}

abbiamo

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=

sostituiamo le rispettive valutazioni

=\frac{\frac{\sqrt{2+h}}{\sqrt{2+h}-1}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}}{h}=

Calcoliamo il denominatore comune nella differenza a numeratore. Otteniamo

=\frac{\frac{\sqrt{2+h}(\sqrt{2}-1)-\sqrt{2}(\sqrt{2+h}-1)}{(\sqrt{2+h}-1)(\sqrt{2}-1)}}{h}=

Scriviamo la frazione con frazione come un'unica frazione (e...no, non è una supercazzola emt )

=\frac{\sqrt{2+h}(\sqrt{2}-1)-\sqrt{2}(\sqrt{2+h}-1)}{h(\sqrt{2+h}-1)(\sqrt{2}-1)}=

con un paio di conticini

=\frac{\sqrt{2+h}\sqrt{2}-\sqrt{2+h}-\sqrt{2}\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}{h(\sqrt{2+h}-1)(\sqrt{2}-1)}=

Eliminiamo i termini simili al numeratore

=\frac{-\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}{h(\sqrt{2+h}-1)(\sqrt{2}-1)}

e abbiamo trovato il rapporto incrementale nel punto. Volendo puoi razionalizzare il risultato, ma anche no. emt

Rapporto incrementale di una funzione fratta con radice #63969

avt
Calabi
Cerchio
Ciao Omega!

Grazie per la risposta, ora tutto torna! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os