Insieme immagine di funzioni di secondo grado #63845

avt
Jennifer24
Cerchio
Ciao, ho qualche incertezza sul calcolo dell'insieme immagine di alcune funzioni, ve ne riporto una (è un polinomio di secondo grado)

f(x)=\frac{-x^2+5x}{3}

Io non so bene come fare, ho provato a guardare in giro come si ricava, ma non ho ben capito, per cui vi ringrazio se potete aiutarmi.
Io avevo pensato di trovare il vertice, e una volta che hai il vertice puoi arrivarci.
Però preferirei ricavarlo con un metodo standard, che si usa in generale, non uno così pensato sul momento, che poi magari non va sempre bene. emt

Grazie mille ancora!!! emt
 
 

Re: Insieme immagine di funzioni di secondo grado #63849

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Jennifer24. In realtà il metodo che proponi è perfetto per la situazione. Utilizzare il metodo generale per trovare l'immagine della funzione è un po' come sparare una mosca con un cannone, e comunque, come puoi vedere dalla lezione che ti ho linkato non esiste un unico metodo valido per tutti.

Io farei così:

- il grafico della funzione

f(x)=\frac{-x^2+5x}{3}

coincide con la parabola di equazione:

y= \frac{-x^2+5x}{3}= -\frac{1}{3}x^2+ \frac{5x}{3}

- studiamo qualitativamente l'equazione della parabola.

\bullet\,\, il coefficiente di x^2 è negativo quindi la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.

\bullet\,\, il vertice della parabola ha coordinate:

V= \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)

dove a= -\frac{1}{3}, b= \frac{5}{3}, c=0 e \Delta= b^2-4ac= \frac{25}{9}

Le coordinate del vertice saranno:

V= \left(\frac{5}{2},\frac{25}{12} \right)

A noi interessa in particolare l'ordinata del vertice, che in questo caso, rappresenta il massimo valore che la funzione può assumere.

Grazie a queste informazioni possiamo scrivere che:

\mbox{Im}(f)= \left(-\infty, \frac{25}{12}\right]

Per gli altri metodi (più laboriosi in questo caso) ti consiglio di leggere la guida proposta da YouMath emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Jennifer24
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Os