Derivata con radice cubica e logaritmo #63610

avt
ele88
Punto
Ciao! Devo calcolare la derivata di una funzione con la radice cubica di un logaritmo e un rapporto, ma sto un po' impazzendo! emt Mi spiegate dove sbaglio? Grazie mille!

Il testo è il seguente:

f(x)= \sqrt[3]{\log\frac{x}{x-2}}

Io ho fato così: per prima cosa ho derivato la radice, poi i logaritmo ed infine l'argomento.
In pratica ho fatto così:

- per derivare la radice

f(x)= \sqrt[3]{\log\frac{x}{x-2}} che diventa [\log\frac{x}{x-2}]^{\frac{2}{3}}

\frac{2}{3}* [\log\frac{x}{x-2}]^{\frac{2}{3}-1}

\frac{2}{3}* [\log\frac{x}{x-2}]^{\frac{-1}{3}}

\frac{2}{3}* \frac{1}{\sqrt[3]{\log\frac{x}{x-2}}}

\frac{2}{3\sqrt[3]{\log\frac{x}{x-2}}}

Per derivare il logaritmo ho fatto:

\log\frac{x}{x-2}

\frac{1}{\frac{x}{x-2}}

Per derivare l'argomento ho usato questa formula:

\frac{(Df*g)-(f*Dg)}{g^2}

che applicata viene

\frac{1(x-2)-x(1-0)}{(x-2)^2}

Svolgendo i calcoli alla fine il mio risultato è:

\frac{-4}{3}*\frac{1}{x^2\left[\log\frac{x}{x-2}\right]^{\frac{1}{3}}}-2x

che è diverso dal risultato che dovrei ottenere emt Dove sbaglio?
Scusate per la lunghezza del topic, ma almeno avete una mezza idea di quello che ho combinato. Grazie mille per qualsiasi risposta! emt
Ciao!
 
 

Derivata con radice cubica e logaritmo #63627

avt
BleakHeart
Frattale
Ciao ele,
allora prendiamo la funzione che hai scritto all'inizio :

f(x)= \sqrt[3]{log\frac{x}{x-2}}

questa è una funzione composta da 3 funzioni (la radice cubica, il logaritmo e la frazione nell'argomento del logaritmo).
la riscriviamo nel seguente modo:

f(x)=\left(log\frac{x}{x-2}\right) ^\frac{1}{3}

poichè la radice cubica può essere riscritta come n^\frac{1}{3} (dove n è un numero intero qualsiasi).

Ora utilizziamo la formula di derivazione di un potenza:
f'(x)=\frac{1}{3}* [log\frac{x}{x-2}]^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}* [log\frac{x}{x-2}]^\frac{-2}{3}=\frac{1}{3}* \frac{1}{\sqrt[3]{\left(log\frac{x}{x-2}\right)^{2}}}

svolgiamo la derivata della funzione logaritmica all'interno della radice :

f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{\left (\log \frac{x}{x-2}  \right )^{2}}}\cdot \frac{1}{\frac{x}{x-2}}=\frac{x-2}{3x\sqrt[3]{\left (\log \frac{x}{x-2}  \right )^{2}}}

Ed ora (finalmente) si può fare la derivata dell'argomento del logaritmo.

f'(x)=\frac{x-2}{3x\sqrt[3]{\left (\log \frac{x}{x-2}  \right )^{2}}}\cdot \frac{-2}{(x-2)^2}

facendo le dovute semplificazioni viene:

f'(x)=\frac{-2}{3x(x-2)\sqrt[3]{\left (\log \frac{x}{x-2}  \right )^{2}}}

penso che questo sia il risultato giusto.


ps in questi casi bisogna considerare la funzione come una cipolla, prima svolgi la derivata della funzione più esterna per finire a quella più interna emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, Galois, CarFaby, ele88

Derivata con radice cubica e logaritmo #63629

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao ele88 la funzione da derivare è:

f(x)= \sqrt[3]{\log\left(\frac{x}{x-2}\right)}

Essa è una funzione composta da più funzioni. Sono presenti
- la funzione radice cubica;

- la funzione logaritmo;

- una funzione razionale fratta.

Per derivare questa funzione dobbiamo utilizzare la formula di derivazione per le funzioni composte, partendo dalla derivata della funzione più esterna:

f'(x)=D\left[ \sqrt[3]{\log\left(\frac{x}{x-2}\right)}]=D\left[\left(\log\left(\frac{x}{x-2}\right)\right)^{\frac{1}{3}}\right]

In questo passaggio ho scritto la radice cubica in forma di potenza con esponente razionale.

Ricorda la formula di derivazione generalizzata per le potenze:

D[h(x)^{\alpha}]=\alpha h(x)^{\alpha-1}\cdot D[h(x)]

Nel nostro caso \alpha=\frac{1}{3}, scriveremo quindi:

f'(x)=D\left[\left(\log\left(\frac{x}{x-2}\right)\right)^{\frac{1}{3}}\right]=

\frac{1}{3}\left(\log\left(\frac{x}{x-2}\right)\right)^{\frac{1}{3}-1}\cdot D\left[\log\left(\frac{x}{x-2}\right)\right]

\frac{1}{3}\left(\log\left(\frac{x}{x-2}\right)\right)^{-\frac{2}{3}}\cdot D\left[\log\left(\frac{x}{x-2}\right)\right]

Per la formula di derivazione generalizzata del logaritmo abbiamo che:

D\left[\log(g(x))\right]=\frac{1}{g(x)}\cdot D[g(x)]

(la derivata del logaritmo in base e è 1 sull'argomento per la derivata dell'argomento).

Otterremo quindi:

\frac{1}{3}\left(\log\left(\frac{x}{x-2}\right)\right)^{-\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{\frac{x}{x-2}}\cdot D\left[\frac{x}{x-2}\right]

Qui interviene ora la formula di derivazione del quoziente:

D\left[\frac{x}{x-2}\right]= \frac{(x-2)-x}{(x-2)^2}= -\frac{2}{(x-2)^2}

In definitiva:

f'(x)=\frac{1}{3}\left(\log\left(\frac{x}{x-2}\right)\right)^{-\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{\frac{x}{x-2}}\cdot \left(-\frac{2}{(x-2)^2}\right)

=-\frac{2}{3}\frac{1}{x(x-2)\sqrt[3]{\log^2\left(\frac{x}{x-2}\right)}}

In quest'ultimo passaggio ho fatto qualche passaggio algebrico, niente di che emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, BleakHeart, Lorenzo13R, ele88
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