Equazione della tangente al grafico e passante per l'origine

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Equazione della tangente al grafico e passante per l'origine #63597

avt
AndyDragneel
Punto
Ragazzi salve! Ho questo esercizio per compito sull'equazione della tangente al grafico di una funzione e che passa per l'origine. Il testo chiede:

scrivi l'equazione della retta tangente al grafico di y=x^3-16 passante per l'origine. Allora questo è il mio procedimento spiegato dal professore:

y-x_O^3-16=3x_O^2(x-x_O)

-x_O^3-16=3x_O^3

-4x_O^3=16

x_o^3=4

Bene ora che cosa dovrei fare con questo numero? Devo andarlo a sostituire da qualche parte?

Poi ne ho un altro simile ma non so neanche da dove iniziare: scrivi l'equazione della retta tangente al grafico di y=x^3 passante per il punto P(0,-16).

Ragazzi potete spiegarmi bene come si fanno per favore?
Grazie! emt
 
 

Equazione della tangente al grafico e passante per l'origine #63623

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao AndyDragneel emt

Prima di iniziare ti invito a leggere la lezione su come determinare la retta tangente al grafico di una funzione in un punto.

In soldoni, la formula da utilizzare è:

y-y_0= f'(x_0)(x-x_0)

dove

\bullet\,\,(x_0,y_0) sono le coordinate del punto di tangenza. Possiamo dire di più: l'ordinata del punto di tangenza è proprio y_0=f(x_0);

\bullet\,\, f'(x_0) è la derivata prima della funzione f valutata nell'ascissa del punto di tangenza.

Il problema è che non conosciamo il punto di tangenza, ovvero non conosciamo le coordinate (x_0,y_0), poco male, continuiamo lo stesso.

Ci serve

f(x_0)= x_0^3-16

Calcoliamo la derivata prima della funzione f(x)= x^3-16.

f'(x)= 3 x^2

Valutiamola nel punto generico x_0:

f'(x_0)=3x_0^2

esso rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico. Utilizziamo la formula che ho scritto su:

y-\overbrace{(x_0^3-16)}^{f(x_0)}= \overbrace{3x_0^2}^{f'(x_0)}(x-x_0)

Questa è l'equazione della retta, ma ci manca un'informazione, dobbiamo determinare x_0 ovvero l'ascissa del punto di tangenza. Per determinarlo useremo l'informazione data dall'esercizio. Sappiamo che questa retta passa per il punto (0,0). Imponiamo il passaggio, sostituendo ad x 0 e ad y 0.

-(x_0^3-16)=3x_0^2(-x_0)

Facciamo i conti arriverai all'equazione di terzo grado:

16+2x_0^3= 0

Da cui ottieni che:

x_0= -2

Ottimo, abbiamo l'ascissa del punto di tangenza, ci serve l'ordinata

y_0= f(x_0)= f(-2)=(-2)^3-16=-24

Adesso valutiamo la derivata prima in x=-2 per ottenere il coefficiente angolare della retta tangente:

f'(x_0)=f'(-2)=3 (-2)^2=12

Abbiamo tutti gli ingredienti per scrivere l'equazione della retta tangente:

y-f(x_0)= f'(x_0)(x-x_0)

y-(-24)= 12 (x-(-2))

da cui:

y=12 x

Segui lo stesso ragionamento per il secondo esercizio. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, AndyDragneel
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Os