Area finita di una regione illimitata?

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Area finita di una regione illimitata? #63256

avt
elav
Punto
Ciao, ho trovato un esercizio anomalo sull'area di una regione piana sottesa dal grafico di una funzione. Non mi trovo perché mi sembra che l'intervallo da considerare sia illimitato.

y=\frac{x-3}{x(x-2)^2}

Detto A il punto di intersezione con l'asse x, dimostra che l'area sottesa tra il grafico e l'asse
x a destra del punto A è finita, e calcola l'integrale.

Il punto di intersezione l'ho trovato e dovrebbe essere A(3;0).
Adesso penso di dover fare l'integrale, ma non capisco su quale intervallo. I miei tentativi non hanno dato frutti.

Ringrazio in anticipo per l'attenzione
 
 

Area finita di una regione illimitata? #63293

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo la funzione

y=\frac{x-3}{x(x-2)^2}

Seguendo alla lettera la richiesta dell'esercizio, troviamo innanzitutto il dominio della funzione. Ci basta richiedere che il denominatore non si annulli

Dom(f)=(-\infty,0)\cup(0,+2)\cup(+2,+\infty)

e calcoliamo le intersezioni con l'asse delle x

\begin{cases}y=\frac{x-3}{x(x-2)^2}\\ y=0\end{cases}\ \Rightarrow\ x-3=0

da cui ricaviamo (3,0). Ciò significa che il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse in un solo punto.

area finita regione di piano illimitata


Da dove sorge il tuo dubbio? Direi dal fatto che l'esercizio ti chiede di dimostrare che una certa regione di piano illimitata ha area finita, il che è possibilissimo. emt

La regione di piano che ci interessa è quella compresa tra il grafico della funzione e l'asse x per x\geq 3. Non c'è problema: sappiamo qual è il significato geometrico dell'integrale di Riemann e sappiamo che gli integrali impropri di prima specie costituiscono un'estensione dell'integrale di Riemann ad intervalli illimitati.

Dobbiamo considerare

\int_{ascissa-intersezione}^{+\infty}f(x)dx

ossia

\int_{3}^{+\infty}\frac{x-3}{x(x-2)^2}dx

A questo punto, data la richiesta dell'esercizio, l'unico metodo che puoi utilizzare è il calcolo dell'integrale improprio con la definizione, dunque devi calcolare

\int_{3}^{+\infty}\frac{x-3}{x(x-2)^2}dx=\lim_{M\to +\infty}\int_{3}^{M}\frac{x-3}{x(x-2)^2}dx

e in parole povere prima calcoli l'integrale definito, poi passi al limite sul risultato.

Il calcolo lo lascio a te, devi ricorrere al metodo di integrazione per fratti semplici. Per verificare la correttezza del risultato, puoi appoggiarti al tool per gli integrali definiti online. E' molto intelligente e calcola anche gli impropri. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, elav

Re: Area finita di una regione illimitata? #63319

avt
elav
Punto
Grazie mille per la spiegazione.
Nel calcolo del l'integrale mi viene qualcosa di sbagliato...scrivo il mio procedimento:

 \int_{3}^{M}{\frac{x-3}{x(x-2)^2} dx}

 \int_{3}^{M}{\frac{1}{(x-2)^2}dx} + \int_{3}^{M}{\frac{-3}{x(x-2)^2}dx}

Mi risulta

 -\frac{1}{m-2} -1+\left[-\frac{3}{4} \left(-\frac{2}{M-2}+\log(M-2)+\log(M)-\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{4}(\log(3)\right)\right)\right]

E poi calcolando il limite mi viene 0 emt

Re: Area finita di una regione illimitata? #63328

avt
Omega
Amministratore
Devo chiederti di scrivere le frazioni utilizzando il tag LaTeX "\frac{ }{ }", altrimenti sono difficili da leggere. In questo caso modifico io il tuo messaggio. emt

Per il resto: no, non hai seguito il mio consiglio riguardo al calcolo dell'integrale. Ti ho suggerito di procedere con il metodo di integrazione delle funzioni razionali, in particolare con il metodo dei fratti semplici.

Devi riscrivere l'integranda in una forma equivalente. Dato che essa è nella forma

\frac{x-3}{x(x-2)^2}

ti serve una scomposizione ai fratti semplici del tipo

\frac{x-3}{x(x-2)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}

Se hai dubbi in merito, leggi la lezione che ho linkato in precedenza. emt Con i dovuti calcoli troverai come scomposizione

\frac{x-3}{x(x-2)^2}=-\frac{3}{4x}+\frac{3}{4(x-2)}-\frac{1}{2(x-2)^2}

Da qui, il calcolo dell'integrale è molto semplice. Nota che devi solo calcolare tre integrali elementari.
Ringraziano: elav
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Os