Area finita di una regione illimitata?

Ciao, ho trovato un esercizio anomalo sull'area di una regione piana sottesa dal grafico di una funzione. Non mi trovo perché mi sembra che l'intervallo da considerare sia illimitato.



Detto A il punto di intersezione con l'asse x, dimostra che l'area sottesa tra il grafico e l'asse
x a destra del punto A è finita, e calcola l'integrale.

Il punto di intersezione l'ho trovato e dovrebbe essere .
Adesso penso di dover fare l'integrale, ma non capisco su quale intervallo. I miei tentativi non hanno dato frutti.

Ringrazio in anticipo per l'attenzione

Consideriamo la funzione



Seguendo alla lettera la richiesta dell'esercizio, troviamo innanzitutto il dominio della funzione. Ci basta richiedere che il denominatore non si annulli



e calcoliamo le intersezioni con l'asse delle x



da cui ricaviamo . Ciò significa che il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse in un solo punto.



Da dove sorge il tuo dubbio? Direi dal fatto che l'esercizio ti chiede di dimostrare che una certa regione di piano illimitata ha area finita, il che è possibilissimo.

La regione di piano che ci interessa è quella compresa tra il grafico della funzione e l'asse x per . Non c'è problema: sappiamo qual è il significato geometrico dell'integrale di Riemann e sappiamo che gli integrali impropri di prima specie costituiscono un'estensione dell'integrale di Riemann ad intervalli illimitati.

Dobbiamo considerare



ossia



A questo punto, data la richiesta dell'esercizio, l'unico metodo che puoi utilizzare è il calcolo dell'integrale improprio con la definizione, dunque devi calcolare



e in parole povere prima calcoli l'integrale definito, poi passi al limite sul risultato.

Il calcolo lo lascio a te, devi ricorrere al metodo di integrazione per fratti semplici. Per verificare la correttezza del risultato, puoi appoggiarti al tool per gli integrali definiti online. E' molto intelligente e calcola anche gli impropri.

Grazie mille per la spiegazione.
Nel calcolo del l'integrale mi viene qualcosa di sbagliato...scrivo il mio procedimento:





Mi risulta



E poi calcolando il limite mi viene 0

Devo chiederti di scrivere le frazioni utilizzando il tag LaTeX "\frac{ }{ }", altrimenti sono difficili da leggere. In questo caso modifico io il tuo messaggio.

Per il resto: no, non hai seguito il mio consiglio riguardo al calcolo dell'integrale. Ti ho suggerito di procedere con il metodo di integrazione delle funzioni razionali, in particolare con il metodo dei fratti semplici.

Devi riscrivere l'integranda in una forma equivalente. Dato che essa è nella forma



ti serve una scomposizione ai fratti semplici del tipo



Se hai dubbi in merito, leggi la lezione che ho linkato in precedenza. Con i dovuti calcoli troverai come scomposizione



Da qui, il calcolo dell'integrale è molto semplice. Nota che devi solo calcolare tre integrali elementari.