Limite esponenziale con base fratta #63196

avt
BleakHeart
Frattale
Buongiorno a tutti, da tempo immemore penso continuamente a come risolvere il seguente limite esponenziale con base fratta

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}^\left ( \frac{sen(x)}{x-sen(x)} \right )

Di questo limite so che il risultato dovrebbe essere  \frac{1}{e} (non ne sono sicuro) ma non so come arrivarci.


Io ho provato a raccogliere una x all'esponente in modo da ottenere :

{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen(x)}{x}^\left ( \frac{sen(x)}{x(1-\frac{sen(x)}{x})} \right )

sostituendo ottengo:

\lim_{x\rightarrow 0}1^{\left ( \frac{1}{(1-1)} \right )}=1^\infty

ovvero un'altra forma indeterminata. Come posso andare avanti?

PS: nel limite iniziale sostituendo si ottiene una forma indeterminata del tipo \frac{0}{0}.
 
 

Limite esponenziale con base fratta #63201

avt
Serrafollower95
Punto
Se l'argomento dell'esponenziale a base a variabile è dato dall'intera funzione

y=\frac{\sin(x)}{x}

pertanto stai calcolando il limite

\lim_{x\to 0}\left ( \frac{\sin(x)}{x} \right )^{\frac{\sin(x)}{x-\sin(x)}}

Capisco le tue sofferenze poiché tempo fa ci ho sbattuto la testa per giorni prima di pervenire al risultato, in questa sezione troverai anche il thread nel quale proposi l'esercizio per controllare se la strada che avevo seguito era corretta, comunque ti garantisco che il risultato del limite è \frac{1}{e}.

La forma indeterminata proposta dal limite in questo caso è 1^{\infty}, puoi verificarlo calcolando separatamente i limiti della base e dell'esponente dell'esponenziale a base variabile

Per prima cosa sapendo che nel tuo limite x\to 0, facendo ricorso alle stime asintotiche puoi sostituire al \sin(x) al numeratore dell'esponente il corrispettivo equivalente asintotico x, nota che questa operazione non può invece essere fatta al denominatore dell'esponente poiché la stima asintotica della funzione y=\sin(x) quando centrata in x=0 al primo ordine è esattamente uguale a x.

Dunque dovresti fare ricorso alla stima di secondo ordine per evitare perdite di informazioni sugli infinitesimi, ma in questo caso si può parzialmente ovviare all'inconveniente senza utilizzare la stima asintotica di \sin(x) al secondo ordine con un accorgimento, ossia raccogliendo per x al denominatore dell'esponente. Fatti questi passaggi, il tuo limite diventerà il seguente

\lim_{x\to 0}\left ( \frac{\sin(x)}{x} \right )^{\frac{x}{x\left ( 1-\frac{\sin(x)}{x} \right )}}

Notiamo che la forma indeterminata persiste, semplifichiamo la x all'esponente e sapendo che la nostra funzione negli intorni di x=0 è strettamente positiva poiché un'esponenziale a base variabile esiste solamente laddove la sua base è strettamente positiva, facciamo ricorso all'identità f(x)=e^{ln(f(x))} e in aggiunta utilizzando la continuità della funzione esponenziale in tutto il suo dominio e una proprietà dei logaritmi il limite diventa

e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{1-\frac{\sin(x))}{x}}ln\left ( \frac{\sin(x)}{x} \right )}

Eseguendo una sostituzione diretta nella nostra situazione attuale, notiamo che adesso siamo di fronte ad una forma indeterminata del tipo 0\times\infty.

Per scioglierla, sapendo che x\to 0, facciamo ricorso alla stima asintotica del limite notevole del logaritmo riconducendoci alla stessa mediante un piccolo trick algebrico, ossia aggiungiamo e detraiamo 1 dall'argomento del logaritmo, nota che possiamo ricorrere alla stima asintotica perché per x\to 0, l'argomento del nostro logaritmo tende a 1 e con il trick possiamo ricondurci alla stima asintotica notevole centrata nell'origine e arrestata al primo ordine ln(1+f(x)).

Facendo ricorso alle stime asintotiche il nostro limite diventa

e^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{1-\frac{\sin(x))}{x}}( \frac{\sin(x)}{x}-1 )}

La forma indeterminata 0\times\infty continua a persistere, ma finalmente siamo arrivati alla fine delle nostre fatiche perché raccogliendo per -1 al denominatore dell'esponente oppure al secondo fattore del prodotto, possiamo semplificare e otteniamo che il limite iniziale è uguale a \frac{1}{e}, che è esattamente il risultato richiesto.
Ringraziano: BleakHeart

Limite esponenziale con base fratta #63203

avt
BleakHeart
Frattale
Grazie @serrafollower95!

c'è da considerare che ho provato a cercare nel forum un esercizio simile a questo ma non ho trovato nulla... forse avrò sbagliato a cercare, devo fare un pò di pratica emt

Grazie ancora!
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Os