Derivata di una frazione che è argomento del logaritmo

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Derivata di una frazione che è argomento del logaritmo #61721

avt
BleakHeart
Frattale
Ciao, ho cercato di calcolare una delle vostre derivate (esercizio advanced) che mi crea problemi per la derivazione di una frazione che si trova all'interno di un logaritmo:

y=\log_2 \left ( \frac{-2x}{(x^2+ 5)^2} \right ).

Mi sono bloccato al passaggio in cui devo derivare l'argomento del logaritmo usando la regola di derivazione di una frazione...

\displaystyle{y=\frac{(x^2+5)^2}{-2x (\log(2)) } \left(\frac{ -8x(x^2+5)+8x^2(x^2+5)}{[(x^2+5)^2]^2} \right)}
 
 

Derivata di una frazione che è argomento del logaritmo #61743

avt
Galois
Coamministratore
Ciao BleakHeart emt

Dobbiamo calcolare la derivata della funzione composta

z=h(x)=\log_2 \left(\frac{-2x}{(x^2+5)^2}\right)

La funzione più esterna è:

z=g(y)=\log_2(y)

quella più interna:

y=f(x)=\frac{-2x}{(x^2+5)^2}

Pertanto:

(*) \ h'(x)=g'(f(x)) \cdot f'(x)

Ora, tenendo ben presenti le derivate fondamentali:

g'(f(x))=\frac{1}{\frac{-2x}{(x^2+5)^2} \ln(2)}=\frac{x^2+5}{-2x\ln(2)}

Mentre, per la regola di derivazione di un rapporto:

\left[\frac{-2x}{(x^2+5)^2}\right]' = \frac{-2(x^2+5)^2 + 2x [2(x^2+5)(2x)]}{(x^2+5)^4}=

=\frac{-2(x^2+5)^2+8x^2(x^2+5)}{(x^2+5)^4}=\frac{(x^2+5)[-2(x^2+5)+8x^2]}{(x^2+5)^4}=

=\frac{-2x^2-10+8x^2}{(x^2+5)^3}=\frac{6x^2-10}{(x^2+5)^3}=\frac{2(3x^2-5)}{(x^2+5)^3}

Mettendo insieme i vari risultati, ovvero sostituendo in (*) avremo:

\left[\log_2 \left(\frac{-2x}{(x^2+5)^2}\right)\right]'=\frac{x^2+5}{-2x\ln(2)} \cdot \frac{2(3x^2-5)}{(x^2+5)^3}=

=\frac{5-3x^2}{x\ln(2)(x^2+5)^2}
Ringraziano: CarFaby
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