Funzione a tratti con insieme numerico e disequazione

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Funzione a tratti con insieme numerico e disequazione #61608

avt
vinx91ct
Banned
C'è un quesito che mi dà una funzione definita a tratti, la cui definizione si basa su un insieme numerico definito da una disequazione che mi sta dando un po' di grattacapi.

Ammetto che di solito cerco di svolgere prima l'esercizio e, solo successivamente, nel caso in cui non riesca a dare una risposta al quesito, posto qui il tutto. Oggi, però, mi sono trovato di fronte a questo problema:

Dato l'insieme numerico

X=\{x\in \mathbb{R}\ :\ |x-1|\leq 2\}

Sia

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 &se  &x \in X \\ |x| &se  &x \in R-X \end{matrix}\right


Quale delle seguenti asserzioni è FALSA?

\\ \square \ f \ ha \ un \ massimo \ relativo\\ \square  \ f \ ha \ un \ minimo \ assoluto \\ \square  \ f \ ha \ la \ concavita' \ verso \ l'\ alto\ in \ (-\infty,0]\\ \square  \ La \ funzione \ ha \ due \ punti \ di \ discontinuita' \\ \square \ f \ ha \ esattamente \ un \ punto \ critico

Ora partiamo dal fatto che se non ci fosse stato quell'insieme numerico X grande all'inizio del testo, l'esercizio sarebbe stato abbastanza sempliciotto (sicuramente più semplice che avercelo questo insieme). Infatti sarebbe bastato sostituire alla x un numero che va da meno infinito a più infinito e avremmo potuto identificare e tracciare dei punti in un grafico di assi cartesiani. L'esercizio alla fine so che si svolge così, ma ripeto, quell'insieme numerico X grande mi dice che non posso scegliere tutti i valori da meno infinito a più infinito, o meglio, mi specifica per quali valori ha senso calcolare la funzione.

Chi mi aiuta a capire cosa vuole dire quell'insieme X grande all'inizio del testo?

Per esempio, se assegno il valore 1 ad x ed eseguo il calcolo richiestomi da X grande, ho che |1-1|\leq 2 e quindi quando assegno 1 ad x, la y=0 e traccio quindi un punto di coordinate (1;0). Ecco se questo è il ragionamento, poi quando nella seconda legge c'è R-X come si deve operare?
Grazie in anticipo emt
 
 

Funzione a tratti con insieme numerico e disequazione #61631

avt
Omega
Amministratore
Ciao Vinx emt

prima di passare all'esercizio, un piccolo monito. Cortesemente evita di pubblicare una seconda discussione finché la precedente non ha ricevuto riposte, altrimenti l'unico effetto è quello di intasare il Forum. Una cosa alla volta emt

Per quanto riguarda l'esercizio che hai proposto qui, non devi farti spaventare dalla forma con cui si presenta l'insieme X

X=\{x\in \mathbb{R}\ :\ |x-1|\leq 2\}

per individuarne gli elementi dell'insieme, devi solamente risolvere la disequazione

|x-1|\leq 2

Si tratta di una semplicissima disequazione con valore assoluto che equivale a

-2\leq x-1 \leq 2

e quest'ultima doppia disequazione equivale a un sistema di disequazioni

\begin{cases}x-1\geq -2\\ x-1\leq +2\end{cases}

che ha come soluzioni -1\leq x\leq 3. Siamo pronti per riscrivere la definizione della funzione a tratti in una forma più gestibile.

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 &se  &x \in X \\ |x| &se  &x \in \mathbb{R}-X \end{matrix}\right

diventa

\begin{cases}|x|\mbox{ se }x<-1\\ x^2\mbox{ se }-1\leq x\leq +3\\ |x|\mbox{ se }x>+3\end{cases}

Ricordandoci della definizione del modulo di x, possiamo eliminare lo stesso valore assoluto tenendo conto del segno dell'argomento sui due intervalli

\begin{cases}-x\mbox{ se }x<-1\\ x^2\mbox{ se }-1\leq x\leq +3\\ +x\mbox{ se }x>+3\end{cases}


Ecco fatto. emt Ora puoi disegnare i singoli rami della funzione a seconda dell'intervallo su cui sono definiti. Devi sostanzialmente disegnare due semirette e un arco di parabola: mi raccomando, ognuno va disegnato solo ed esclusivamente sul proprio intervallo di competenza.


A questo punto non dovresti aver problemi nel capire quale delle affermazioni proposte è falsa.

Funzione a tratti con insieme numerico e disequazione #61645

avt
vinx91ct
Banned
Tutto chiaro (anche l'avvertimento emt ). Però continuo a non capire perché hai operato in quel modo rispetto a R-X. E se, per esempio, ci fosse stato R+X?

Vorrei capire con quale ragionamento si passa a |x|<-1 e |x|>3. Per il resto credo che la risposta corretta dovrebbe essere (cioè la falsa): ha due punti di discontinuità?

Visto che l'arco di parabola ha un punto (all'inizio dell'arco, cioè a (-1;1)) che "chiude" la discontinuità della semiretta  |x|\ se \ x<-1

Re: Funzione a tratti con insieme numerico e disequazione #61656

avt
Omega
Amministratore
Benone! Ecco il vero nodo che viene (fortunatamente) al pettine: un fraintendimento sulla notazione adottata. emt

Quel "meno" in \mathbb{R}-X indica una differenza insiemistica! emt

Dunque \mathbb{R}-X indica l'insieme di tutti i punti dell'asse reale che non appartengono a X. In buona sostanza

\mathbb{R}-X=X^C

cioè l'asse reale privato di X coincide con il complementare dell'insieme X nell'asse reale.

Tutto qui. emt


Sì: disegnando il grafico ci si accorge velocemente che la funzione ha un solo punto di discontinuità a salto, in x=+3.
  • Pagina:
  • 1
Os