Svolgimento esercizio 7 beginner sui limiti notevoli

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Svolgimento esercizio 7 beginner sui limiti notevoli #61312

avt
martini94
Punto
Ciao! Sto cercando di svolgere tutti gli esercizi beginner con i limiti notevoli ma non riesco a risolvere il numero 7.

\lim_{x\to 0}{\frac{2x+\sin{(4x)}}{\tan{(x)}}

Ho provato a spezzare il numeratore ma alla fine mi trovo con 6x/tan(x) e non so come muovermi. Grazie in anticipo per l'aiuto

P.s. Complimenti per il sito, è fantastico!
 
 

Svolgimento esercizio 7 beginner sui limiti notevoli #61329

avt
BleakHeart
Frattale
Buongiorno Martini, ti consiglio di leggere le linee guida del Forum.

Ora passando all'esercizio, abbiamo il seguente limite

\lim_{x \to 0} \frac{2x+\sin(4x)}{\tan(x)}=

che come hai consigliato tu bisogna scomporlo in

=\lim_{x \to 0}\left[ \frac{2x}{\tan(x)}+\frac{\sin(4x)}{\tan(x)}\right]=

ora, usando le formule fondamentali della goniometria, mettiamo \frac{\sin(x)}{\cos(x)} al posto di \tan(x) e di conseguenza abbiamo:

=\lim_{x \to 0}\left[ \frac{2x}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}+\frac{\sin(4x)}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}\right]=

ora si nota un limite notevole di tipo \frac{\sin(x)}{x} quindi il limite si sviluppa nella seguente forma

=\lim_{x \to 0}\left[ 2\cos(x)+\frac{\sin(4x)}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}\right]=

che si può riscrivere come

=2+\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}=

perché il \cos(0)=1. Ora dobbiamo continuare a svolgere il limite perché la forma \left[\frac{0}{0}\right] persiste quindi dividiamo per 4x

=2+\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(4x)}{4x}}{\frac{\sin(x)}{4x(\cos(x))}}=

svolgendo i vari limiti notevoli e sostituendo il valore a cui tende il limite ci viene

=2+\lim_{x \to 0} 4(\cos(x))=6

Re: Svolgimento esercizio 7 beginner sui limiti notevoli #61419

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti emt

@Bleakheart: ci sono tre cose che non approvo nel tuo svolgimento.

La prima è scegliere di scrivere senx,\ cosx in luogo di sen(x), \cos(x), c'è una certa differenza. Ho modificato a tal proposito il testo del tuo messaggio.

La seconda è stilistica. Se puoi evitare di trascinarti dietro frazioni di frazioni, è meglio farlo

\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}+\frac{\sin(4x)}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}=\lim_{x \to 0} \frac{2x\cos(x)}{\sin(x)}+\frac{\sin(4x)\cos(x)}{\sin(x)}


La terza: puoi tagliare molto più corto. emt I limiti notevoli annoverano tra le proprie fila un limite derivato per la tangente. Se, come giustamente hai voluto fare, decidi che è il caso di dimostrarlo, perché non dimostrarlo una volta sola invece di ripetere il ragionamento due volte? emt


Inizio: osserviamo che vale il seguente limite notevole

\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)}{x}=1

o, in forma generale, se supponiamo che f(x)\to 0 per x\to x_0\in \mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}

\lim_{x\to x_0}\frac{\tan(f(x))}{f(x)}=1


Il limite si dimostra banalmente ricorrendo alla definizione di tangente

\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x\cos(x)}=1

dato che \cos(x)\to 1 al tendere di x\to 0, si giunge al risultato applicando il limite notevole del seno.


Passiamo al limite

\lim_{x \to 0} \frac{2x+\sin(4x)}{\tan(x)}=

spezzo la frazione in una somma: grazie alle regole di calcolo dei limiti, sappiamo che il limite di una somma è la somma dei limiti

=\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\tan(x)}+\lim_{x\to 0}\frac{\sin(4x)}{\tan(x)}=

Per il primo addendo applico immediatamente il limite notevole della tangente. Per il secondo addendo, moltiplico e divido per 4x

=2+\lim_{x\to 0}\frac{\sin(4x)}{4x}\frac{4x}{\tan(x)}=2+1\cdot 4

dopo aver applicato al secondo membro il limite notevole della tangente e il limite notevole del seno. Fine. emt
Ringraziano: BleakHeart

Re: Svolgimento esercizio 7 beginner sui limiti notevoli #61443

avt
BleakHeart
Frattale
Ciao a tutti,

@Omega, le tue critiche sono sempre ben accette emt

1-Se è possibile e se hai il piacere, potresti spiegarmi le differenze?
2-Io odio portarmi dietro le frazioni di frazioni ma a scuola mi hanno detto di lasciarle così come sono fino alla fine.. non mi hanno mai spiegato il perchè.
3-Il limite notevole della tangente non lo conoscevo mica, ora ne prendo visione e cerco di ricordarmelo in futuro.
Ringraziano: Omega

Re: Svolgimento esercizio 7 beginner sui limiti notevoli #61773

avt
Omega
Amministratore
Ehi emt

1- Se ti riferisci alle differenze sulle notazioni per \sin(x),\ \cos(x), è più che altro una questione di rigore. Sono funzioni elementari ed è bene specificare l'argomento, e non è pignoleria...perché se ci si abitua a scrivere senx,\ cosx, poi finisce che nel leggere

cost

si pensa al "coseno di t" mentre in realtà la precedente scrittura è generalmente usata per indicare una costante. emt


2- Non hanno torto in generale. Trovarsi di fronte ad una frazione di frazione e riscriverla con leggerezza come un'unica frazione può portare a non tenere conto di eventuali condizioni di esistenza della funzione. Nel caso della funzione del limite non c'erano problemi, per il resto non a caso ho aggiunto un "se puoi" emt


3- Conviene! Non appena diventa un automatismo permette di evitare passaggi e tempo prezioso emt
Ringraziano: BleakHeart
  • Pagina:
  • 1
Os