Semplificare radici di radici #61266

avt
Lana
Cerchio
Ciao ancora a tutti emt devo semplificare un'espressione con radici dentro a radici dentro ad altre radici, volevo chiedervi se ciò che ho fatto è giusto.

La domanda del mio esercizio è questa: trova x sapendo che a \in \mathbb{R}^{+}

\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}} \sqrt{a\sqrt{\frac{1}{a}\sqrt{a\sqrt{\frac{1}{a}}}}}=a^x

Io risolvendo ottengo questo:

\sqrt[4]{a^5}=a^x

e quindi per uguagliare i due membri ho scritto che x=5/4, ma non sono sicura. emt

Quindi vi ringrazio se potete aiutarmi! emt
 
 

Semplificare radici di radici #61284

avt
Galois
Amministratore
Ciao Lana emt

Iniziamo dal risolvere:

\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}

Ricordando le proprietà dei radicali (leggimi) ed in particolare:

- Trasporto dentro il segno di radice

a \sqrt{a} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^3}

- Radice di radice:

\sqrt{\sqrt{a}}=\sqrt[4]{a}

Utilizzando queste due proprietà abbiamo che:

\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}=\sqrt[16]{a^{15}} = a^{\frac{15}{16}}

Allo stesso modo:

\sqrt{a\sqrt{\frac{1}{a}\sqrt{a\sqrt{\frac{1}{a}}}}}=\sqrt[16]{a^5}=a^{\frac{5}{16}}

Pertanto:

\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}} \sqrt{a\sqrt{\frac{1}{a}\sqrt{a\sqrt{\frac{1}{a}}}}}=a^{\frac{15}{16}} \cdot a^{\frac{5}{16}} =

per le proprietà delle potenze

=a^{\frac{15}{16} + \frac{5}{16}} = a^{\frac{20}{16}}=a^{\frac{5}{4}}

Dovendo essere il tutto uguale ad a^x abbiamo proprio che

x=\frac{5}{4}

emt

Attenzione! Abbiamo potuto fare tutto senza problemi di sorta proprio perché a \in \mathbb{R}^{+}, ovvero a è un numero reale positivo emt
Ringraziano: Omega, Lana
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Os