Limiti per l'equazione di un asintoto obliquo

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Limiti per l'equazione di un asintoto obliquo #61067

avt
BleakHeart
Frattale
Buongiorno ragazzi, ho una funzione che mi dà problemi nel calcolo dei limiti per trovare l'equazione di un asintoto obliquo

y=\frac{\sqrt{x^{4}-x}}{2x-1}

di cui devo tracciare il grafico probabile.


Il dominio della funzione è (-\infty,0]\cup [1,+\infty) .

La funzione è negativa prima di 0, positiva nell'intervallo \left(0,\frac{1}{2}\right, di nuovo negativa nell'intervallo \left(\frac{1}{2},1\right) e infine positiva nell'intervallo (1,+\infty)

Non ci sono asintoti verticali né orizzontali ed ho iniziato a calcolare l'asintoto obliquo.

\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x^{4}-x}}{2x^2-x}= \frac{1}{2}

Dopo aver calcolato il coefficiente angolare dell'asintoto ho iniziato a calcolare il limite per [b]trovare la q dell'asintoto obliquo[/b].

\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x^{4}-x}-2x^2+x}{4x-2}=\infty

Chiedo un piccolo aiutino per risolvere il limite per calcolare q.
 
 

Limiti per l'equazione di un asintoto obliquo #61081

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Blackheart,

consideriamo la funzione irrazionale fratta

y=\frac{\sqrt{x^{4}-x}}{2x-1}

il cui dominio della funzione è dettato dalle condizioni

\begin{cases}x^4-x\ge 0&\mbox{c.e. radice}\\ 2x-1\ne 0 &\mbox{denominatore}\ne0\end{cases}

La soluzione del sistema permette di scrivere il dominio dela funzione

Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R} \ : \  x\le 0\vee x\ge 1\right\}= (-\infty, 0]\cup [1, +\infty)
]

Attenzione ora: per studiare il segno della funzione

dobbiamo risolvere la disequazione:

\frac{\sqrt{x^4-x}}{2x-1}\ge 0

tenendo conto del dominio che hai calcolato. La funzione sarà:

- positiva nell'intervallo x>1;

- negativa nell'intervallo x<0:

- nulla nei punti x=0\vee x=1.

Tutto quello che succede in (0,1) non ci interessa perché i punti che vivono in questo intervallo non stanno nel dominio della funzione.

Non ci sono asintoti orizzontali infatti i limiti per x\to-\infty \ \mbox{e} \ x\to+\infty non sono finiti

\\ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^4-x}}{2x-1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^4}}{2x}= \\ \\ \\=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2}=-\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^4-x}}{2x-1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^4}}{2x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2}=+\infty

Entrambi risolti mediante il confronto tra infiniti.

Data la continuità della funzione agli estremi finiti del dominio, non vi sono nemmeno asintoti verticali.

Vediamo se la funzione presenta asintoti obliqui destro di equazione

y=mx+q \ \ \ \mbox{con} \ m\ne0

Il limite che definisce il coefficiente angolare

\\ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{\sqrt{x^4-x}}{2x-1}}{x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{4}-x}}{2x^2-x}=

considerando esclusivamente gli infiniti principali, il limite è equivalente al seguente

=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^4}}{2x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}

Dobbiamo controllare la finitezza del limite che definisce l'ordinata all'origine

q=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx)=\lim_{x\to+\infty} \left(\frac{\sqrt{x^4-x}}{2x-1}-\frac{1}{2}x\right)=

Calcoliamo il minimo comune multiplo:

\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{2\sqrt{x^4-x}-x(2x-1)}{2(2x-1)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{2\sqrt{x^4-x}-2x^2+x)}{2(2x-1)}=

Adesso razionalizziamo il numeratore moltiplicando e dividendo per

2\sqrt{x^4-x}-(-2x^2+x)

così che il limite diventi

=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\sqrt{x^4-x}-2x^2+x}{2(2x-1)}\cdot\frac{2\sqrt{x^4-x}-(-2x^2+x)}{2\sqrt{x^4-x}-(-2x^2+x)}=

Eseguiamo i calcoli, sfruttando la regola sul prodotto tra una somma e una differenza di monomi

\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{4(x^4-x)-(-2x^2+x)^2}{2(2x-1)[2\sqrt{x^4-x}-(-2x^2+x)]}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^4-x-(4x^4-4x^3+x^2)}{2(2x-1)[2\sqrt{x^4-x}-(-2x^2+x)]}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+4x^3-x^2}{2(2x-1)[2\sqrt{x^4-x}+2x^2-x]}=

A questo punto ragioniamo per infiniti principali, trascurando cioè le potenze che hanno gli esponenti minori.

Osserviamo che il termine \sqrt{x^4-x} si comporta come \sqrt{x^4}=x^2 che ha ordine 2, pertanto ha lo stesso ordine di 2x^2.

\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3}{2\cdot 2x\cdot[2\sqrt{x^4}+2x^2]}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3}{2\cdot 2x\cdot[2x^2+2x^2]}=\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3}{4x\cdot 4x^2}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}

In definitiva la funzione presenta un asintoto obliquo destro di equazione

y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}

Con i medesimi passaggi algebrici si dimostra che la funzione ammette anche un asintoto obliquo sinistro di equazione

y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}

infatti, i passaggi effettuati per il caso x\to+\infty valgono anche per x\to-\infty.
Ringraziano: Omega, CarFaby, BleakHeart

Limiti per l'equazione di un asintoto obliquo #61088

avt
BleakHeart
Frattale
Grazie ifrit emt
Visto che non ci sono ne asintoti orizzontali ne verticali, come posso tracciare il grafico probabile? Dovrei partire dal punto (1,0) e seguire l'asintoto nella direzione +\infty e dal punto (0,0) e seguire l'asintoto verso  -\infty ?

Limiti per l'equazione di un asintoto obliquo #61149

avt
Omega
Amministratore
Ciao, se vuoi arrivare al grafico della funzione le informazioni di cui disponi non sono sufficienti.

Devi seguire la procedura di studio delle funzioni e studiare minimo minimo la derivata prima per avere informazioni su massimi e minimi e sulla monotonia della funzione.

Volendo, dato che parliamo di un grafico probabile, puoi evitare lo studio della derivata seconda.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby

Re: Limiti per l'equazione di un asintoto obliquo #61216

avt
BleakHeart
Frattale
Buongiorno,
so perfettamente che le informazioni che ora dispongo non sono sufficienti per tracciare il grafico preciso della funzione.
Eppure sul libro c'è una pagina dedicata ai grafici probabili (se possibile, sono disposto a caricare una foto della pagina dove è presente un esempio) nella quale c'è scritto:" Data una funzione f(x) sappiamo determinare il dominio, stabilire il comportamento agli estremi degli intervalli del dominio e determinare i suoi eventuali asintoti, studiare il segno e determinare le intersezioni con gli assi cartesiani. Questi elementi non sono ancora sufficienti per traccaire il grafico di una funzione qualsiasi con sufficiente precisione, ma, nei casi più semplici, ci permettono di ipotizzare il suo andamento."

Re: Limiti per l'equazione di un asintoto obliquo #61240

avt
Omega
Amministratore
Uhm...in tal caso si tratta di un esercizio molto curioso e di cui francamente non ne vedo l'utilità.

Ricapitoliamo: hai informazioni sul dominio, sul segno, sulle intersezioni con gli assi (ce n'è una sola, (0,0) ) e sugli asintoti. L'unico asintoto della funzione è obliquo ed ha equazione y= \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}, sia per x\to -\infty che per x\to +\infty.

Non sai nulla riguardo agli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Purtroppo però non puoi fare a meno di questo tipo di informazione, dunque (per quel che può valere) dobbiamo ricavare qualche dato sommario.

La funzione cresce sia in un intorno di -\infty che in un intorno di +\infty, e in effetti non è così complicato da capire. Basta confrontare numeratore e denominatore con "numero molto grandi" e tenere conto del loro segno.

Nell'intorno sinistro di zero e nell'intorno destro di 1 però dobbiamo improvvisare!

Non voglio rovinarti la sorpresa. Prova a fare qualche tentativo prima di vedere il vero grafico, e poi confrontali con quello esatto: grafico online.
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