Sistemi per il dominio di una funzione con radice

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Sistemi per il dominio di una funzione con radice #60835

avt
Bepps
Punto
Ciao ragazzi, qualcuno mi spiega cortesemente come determinare il dominio di questa funzione logaritmica con una radice quadrata? Ho parecchie difficoltà con i sistemi che ne derivano...

F(x) = \log(\sqrt{x-1} -3x+2)

Devo porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero e quello della radice maggiore o uguale a 0 e poi risolvere il sistema, giusto? Il guaio è che non so svolgere bene i sistemi!

\begin{cases}\sqrt{x-1}-3x+2>0\\ x-1\ge0\end{cases}

\begin{cases}\sqrt{x-1}-3x > -2\\x\ge 1\end{cases}

Poi non so proseguire... emt
 
 

Sistemi per il dominio di una funzione con radice #60842

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Bepps emt

Come inizio non c'è male davvero hai determinato correttamente le condizioni che definiscono il dominio della funzione.

Dobbiamo imporre che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero e imporre inoltre che il radicando della radice di indice pari sia maggiore o uguale a zero:

\begin{cases}\sqrt{x-1}-3x+2>0\\ x-1\ge 0\end{cases}

La seconda disequazione è facile, mentre la prima è un po' più elaborata, essa è una disequazione irrazionale che scritta in forma normale diventa:

\sqrt{x-1}>3x-2

La disequazione è del tipo:

\sqrt{f(x)}>g(x)

dove f(x)= x-1 e g(x)= 3x-2

Capito questo, dalla teoria sappiamo che la disequazione è equivalente all'unione dei sistemi:

\begin{cases}f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0\\ f(x)>(g(x))^2\end{cases}\cup \begin{cases}f(x)\ge 0\\ g(x)<0\end{cases}

Sostituiamo così da ottenere il sistema:

\begin{cases}x-1\ge 0\\ 3x-2\ge 0\\ x-1>(3x-2)^2\end{cases}\cup\begin{cases}x-1\ge 0\\ 3x-2<0\end{cases}

Risolvendo i due sistemi scoprirai che non hanno soluzioni. Il dominio della funzione è il vuoto emt

Spero sia chiaro, prova a fare i conti.
Ringraziano: CarFaby

Sistemi per il dominio di una funzione con radice #60853

avt
Bepps
Punto
Chiarissimo! Ora ho capito, mi sa che mi conviene ripassare i sistemi! Grazie:)
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Os