Determinare le equazioni degli asintoti #60787

avt
NoyzDiva
Punto
Salve, dovrei risolvere un esercizio sul calcolo delle equazioni degli asintoti di una funzione, ma non so come fare! La traccia chiede:

Determinare le equazioni degli eventuali asintoti della seguente funzione

f(x) = (4x^(2)-x+1)/(x^(2)-1)

La soluzione è: x = -1, x = 1, y = 4

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Determinare le equazioni degli asintoti #60877

avt
Omega
Amministratore
Allora prima di tutto bisogna sapere cosa sono gli asintoti e quindi ti invito a leggerti le varie lezioni presenti sul sito (i link li ho messi alla fine).

Consideriamo la funzione

f(x) = (4x^2-x+1)/(x^2-1)

Per prima cosa, bisogna calcolare il dominio della funzione richiedendo che il denominatore sia non nullo, ossia impostando e risolvendo l'equazione pura

x^2-1 ne0 → x^2 ne1 → x ne±1

Deduciamo dunque che il dominio della funzione è dato dall'unione di tre intervalli disgiunti

Dom(f) = (-∞,-1) U (-1,+1) U (+1,+∞)

Calcoliamo ora i limiti agli estremi del dominio che sono

 lim_(x → -∞)f(x) ; lim_(x → -1^(±))f(x) ; lim_(x → 1^(±))f(x) ; lim_(x → +∞)f(x)

Prendiamo in esame il primo limite

lim_(x → -∞)f(x) = lim_(x → -∞)(4x^2-x+1)/(x^2-1) =

il quale genera una forma indeterminata [(∞)/(∞)] che possiamo sciogliere mettendo in evidenza gli infiniti principali sial al numeratore che al denominatore

= lim_(x → -∞)(x^2(4-(1)/(x)+(1)/(x^2)))/(x^2(1-(1)/(x^2))) = lim_(x → -∞)(4-(1)/(x)+(1)/(x^2))/(1-(1)/(x^2)) = 4

In accordo con la teoria degli asintoti, la funzione ammette asintoto orizzontale sinistro di equazione y = 4, e ciò garantisce l'inesistenza di alcun asintoto obliquo sinistro.

Studiamo i limiti destro e sinistro per x → -1

lim_(x → (-1)^(-))f(x) = lim_(x → (-1)^(-))(4x^2-x+1)/(x^2-1) =

Per avvantaggiarci sul calcolo, scomponiamo la differenza di quadrati al denominatore e in accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi otteniamo

= lim_(x → (-1)^(-))f(x) = lim_(x → (-1)^(-))(4x^2-x+1)/((x-1)(x+1)) = [(6)/((-2)·0^(-))] = +∞

Con la stessa tecnica risolutiva scopriamo che il limite destro per x → (-1) vale invece

lim_(x → (-1)^(+))f(x) = lim_(x → (-1)^(+))(4x^2-x+1)/((x-1)(x+1)) = [(6)/((-2)·0^(+))] = -∞

Poiché i limiti sono entrambi infiniti, la retta di equazione

x = -1

rappresenta un asintoto verticale per f(x).

Studiamo i limiti sinistro e destro per x → 1, sfruttando la stessa strategia risolutiva vista in precedenza

 lim_(x → 1^(-))f(x) = lim_(x → 1^(-))(4x^2-x+1)/((x-1)(x+1)) = [(4)/(0^(-)·2)] = -∞ ; lim_(x → 1^(-))f(x) = lim_(x → 1^(+))(4x^2-x+1)/((x-1)(x+1)) = [(4)/(0^(+)·2)] = +∞

pertanto deduciamo che la funzione ammette un ulteriore asintoto verticale di equazione

x = 1

Consideriamo l'ultimo limite

lim_(x → +∞)f(x) = lim_(x → +∞)(4x^2-x+1)/(x^2-1) =

che manifesta una forma di indecisione risolvibile mettendo in evidenza l'infinito di ordine superiore sia al numeratore che al denominatore

 = lim_(x → +∞)(x^2(4-(1)/(x)+(1)/(x^2)))/(x^2(1-(1)/(x^2))) = lim_(x → +∞)(4-(1)/(x)+(1)/(x^2))/(1-(1)/(x^2)) = 4

pertanto possiamo asserire che

y = 4

è un asintoto orizzontale destro per la funzione.

La presenza degli asintoti orizzontali destro e sinistro garantiscono l'inesistenza di quelli obliqui, di conseguenza gli unici asintoti sono:

x = -1, x = +1, y = 4

Fatto!

- asintoto orizzontale

- asintoto verticale

- asintoto obliquo

PS: ho dato per scontato che tu sappia risolvere le varie forme indeterminate.
Ringraziano: CarFaby
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Os