Determinare le equazioni degli asintoti

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Determinare le equazioni degli asintoti #60787

avt
NoyzDiva
Punto
Salve, dovrei risolvere un esercizio sul calcolo delle equazioni degli asintoti di una funzione, ma non so come fare! La traccia chiede:

Determinare le equazioni degli eventuali asintoti della seguente funzione

f(x)=\frac{4x^{2}-x+1}{x^{2}-1}

La soluzione è: x = -1,\ x = 1,\ y = 4

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Determinare le equazioni degli asintoti #60877

avt
Omega
Amministratore
Allora prima di tutto bisogna sapere cosa sono gli asintoti e quindi ti invito a leggerti le varie lezioni presenti sul sito (i link li ho messi alla fine).

Consideriamo la funzione

f(x)=\frac{4x^2-x+1}{x^2-1}

Per prima cosa, bisogna calcolare il dominio della funzione richiedendo che il denominatore sia non nullo, ossia impostando e risolvendo l'equazione pura

x^2-1\ne0\to x^2\ne1\to x\ne\pm1

Deduciamo dunque che il dominio della funzione è dato dall'unione di tre intervalli disgiunti

Dom(f)=(-\infty,-1)\cup(-1,+1)\cup(+1,+\infty)

Calcoliamo ora i limiti agli estremi del dominio che sono

\\ \lim_{x\to-\infty}f(x) \ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to -1^{\pm}}f(x) \\ \\ \lim_{x\to 1^{\pm}}f(x)  \ \ \ ; \ \ \  \lim_{x\to+\infty}f(x)

Prendiamo in esame il primo limite

\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^2-x+1}{x^2-1}=

il quale genera una forma indeterminata \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che possiamo sciogliere mettendo in evidenza gli infiniti principali sial al numeratore che al denominatore

=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\lim_{x\to-\infty}\frac{4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=4

In accordo con la teoria degli asintoti, la funzione ammette asintoto orizzontale sinistro di equazione y=4, e ciò garantisce l'inesistenza di alcun asintoto obliquo sinistro.

Studiamo i limiti destro e sinistro per x\to-1

\lim_{x\to(-1)^{-}}f(x)=\lim_{x\to(-1)^{-}}\frac{4x^2-x+1}{x^2-1}=

Per avvantaggiarci sul calcolo, scomponiamo la differenza di quadrati al denominatore e in accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi otteniamo

=\lim_{x\to(-1)^{-}}f(x)=\lim_{x\to(-1)^{-}}\frac{4x^2-x+1}{(x-1)(x+1)}=\left[\frac{6}{(-2)\cdot 0^{-}}\right]=+\infty

Con la stessa tecnica risolutiva scopriamo che il limite destro per x\to (-1) vale invece

\lim_{x\to(-1)^{+}}f(x)=\lim_{x\to(-1)^{+}}\frac{4x^2-x+1}{(x-1)(x+1)}=\left[\frac{6}{(-2)\cdot 0^{+}}\right]=-\infty

Poiché i limiti sono entrambi infiniti, la retta di equazione

x=-1

rappresenta un asintoto verticale per f(x).

Studiamo i limiti sinistro e destro per x\to 1, sfruttando la stessa strategia risolutiva vista in precedenza

\\ \lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}\frac{4x^2-x+1}{(x-1)(x+1)}=\left[\frac{4}{0^{-}\cdot 2}\right]=-\infty \\ \\ \\ \lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}\frac{4x^2-x+1}{(x-1)(x+1)}=\left[\frac{4}{0^{+}\cdot 2}\right]=+\infty

pertanto deduciamo che la funzione ammette un ulteriore asintoto verticale di equazione

x=1

Consideriamo l'ultimo limite

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2-x+1}{x^2-1}=

che manifesta una forma di indecisione risolvibile mettendo in evidenza l'infinito di ordine superiore sia al numeratore che al denominatore

\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=4

pertanto possiamo asserire che

y=4

è un asintoto orizzontale destro per la funzione.

La presenza degli asintoti orizzontali destro e sinistro garantiscono l'inesistenza di quelli obliqui, di conseguenza gli unici asintoti sono:

x=-1,\ \ x=+1,\ \ y=4

Fatto!

- asintoto orizzontale

- asintoto verticale

- asintoto obliquo

PS: ho dato per scontato che tu sappia risolvere le varie forme indeterminate.
Ringraziano: CarFaby
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Os