Funzione non derivabile con radice #60780

avt
BleakHeart
Frattale
Oggi la professoressa ha spiegato la derivabilità di una funzione: tornato a casa ho iniziato a fare i compiti assegnatoci per casa e mi sono imbattuto nello studio della derivabilità di una funzione con una radice quadrata

y =\sqrt{x}+3.

Il risultato è che "la funzione non è derivabile".

In teoria, la derivata non dovrebbe essere y'=\frac{1}{2\sqrt{x}} ?

Oppure, quando una funzione non è derivabile?
 
 

Funzione non derivabile con radice #60810

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Bleakheart emt

Questa è una bella domanda, e merita una bella risposta (o almeno io spero che sia così).

Il concetto di derivabilità dipende fortemente, non solo dalla espressione della derivata, ma anche dall'insieme su cui è definita la funzione di partenza. emt

Nel nostro caso abbiamo la funzione:

f(x)= \sqrt{x}+3

che ha per dominio l'insieme

\mbox{dom}(f)= [0, +\infty)

La derivata prima invece è:

f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}} definita nell'insieme (0, +\infty).

E in zero? La funzione di partenza è derivabile in zero? No purtroppo no, perché se calcoliamo il limite del rapporto incrementale destro

\displaystyle \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}

otterremo il limite:

\displaystyle \lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{h}+3-3}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{h}}{h}=+\infty


Poiché il limite del rapporto incrementale esiste ma non è finito allora possiamo asserire che la funzione non è derivabile in x=0.
Attenzione ora:

La funzione f(x)=\sqrt{x}+3 non è derivabile in [0, +\infty) perché non è derivabile in x=0.

La stessa funzione però è derivabile nell'insieme (0,+\infty) perché è derivabile in tutti i punti dell'intervallo. La derivata prima che hai calcolato va bene. :) Se hai dubbi chiedi pure :)
Ringraziano: Omega, BleakHeart
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Os