Derivata di una funzione con radici #60502

avt
BleakHeart
Frattale
Buona giornata a tutti, la mia curiosità mi ha portato ad affrontare le derivate prima del previsto, quindi per conto mio mi sto studiando le derivate. Ho cercato di calcolare la derivata di una differenza di radici:

y=\sqrt[]{x}-\sqrt[]{x^{2}-1}.

Allora secondo ciò che ho studiato sul libro questa è una funzione composta quindi dovrei trovare le derivate di ogni singola radice.

La derivata di \sqrt[]{x} è y'=\frac{1}{2\sqrt[]{x}}.

Non saprei come calcolare la derivata di \sqrt{x^{2}-1}

In questa radice non posso usare la derivata fondamentale come ho fatto per il primo membro... consigli/spiegazioni?
Grazie in anticipo.
 
 

Derivata di una funzione con radici #60513

avt
Galois
Amministratore
Ciao BleakHeart emt

Dobbiamo calcolare la derivata prima della funzione:

f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{x^2-1}

Essendo di fronte alla differenza di due funzioni:

f'(x)=\left[\sqrt{x}\right]' - \left[\sqrt{x^2-1}\right]'

Ora, come ben dici:

\left[\sqrt{x}\right]' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

ti consiglio di tenere ben presente questo specchietto sulle derivate fondamentali

Calcoliamo ora:

\left[\sqrt{x^2-1}\right]'

Per calcolare tale derivata dobbiamo far ricorso alla regola di derivazione della funzione composta.

Data la funzione

z=h(x)=\sqrt{x^2-1}

abbiamo come funzione più esterna

z=g(y)=\sqrt{y}

e come funzione più interna

y=f(x)=x^2-1

Il teorema di derivazione della funzione composta ci dice che h'(x) è data da

h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}\cdot\left(2x\right)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+x}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}
Ringraziano: Omega, Ifrit, BleakHeart

Derivata di una funzione con radici #60551

avt
BleakHeart
Frattale
Come mai la derivata della funzione più interna è 2x ?

Derivata di una funzione con radici #60555

avt
Serrafollower95
Punto
La funzione più interna è la polinomiale intera g(x)=x^{2}-1.

Riconducendoci alle derivate fondamentali sappiamo che la derivata di una funzione potenza del tipo y=x^n è data dalla formula y'=nx^{n-1}, pertanto la derivata di y=x^2 è uguale a y'=2x mentre la derivata di 1 che è una costante, è 0.

Pertanto la derivata di g(x)=x^{2}-1 è la funzione g'(x)=2x in quanto la derivata di una somma di funzioni per la regola della somma (o della linearità) è uguale alla somma delle derivate.
Ringraziano: Omega, Ifrit, Galois, BleakHeart

Derivata di una funzione con radici #60557

avt
maxpunto
Punto
Perché la derivata di x^2  - 1è 2x, se ho capito bene a cosa ti riferisci.

Derivata di una funzione con radici #60570

avt
Omega
Amministratore
Esatto. emt

@ Serrafollower95: buona spiegazione, molto dettagliata. emt
Ringraziano: Ifrit

Re: Derivata di una funzione con radici #60612

avt
BleakHeart
Frattale
Allora il libro non fa nessun riferimento alle costanti e sulla lezione che c'è sul sito non riuscivo a capire cosa significasse il "cost".
Grazie ragazzi, come sempre siete molto gentili e nelle spiegazioni molto esaustivi!
Ringraziano: Omega
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Os