Limite con esponenziale con base non costante

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Limite con esponenziale con base non costante #60371

avt
Serrafollower95
Punto
Salve, mi è stato assegnato il seguente limite da risolvere

\lim_{x\to 0}(\frac{\sin(x)}{x})^{\frac{\sin(x)}{x-\sin(x)}}

Il cui risultato è 1/e, ne sono sicuro perché ho controllato con il risolutore automatico di limite
Mi farebbe piacere una mano per verificare se il procedimento iterativo che ho eseguito per risolverlo è corretto e tutti i passaggi che ho svolto sono leciti, non vorrei aver eseguito un procedimento sbagliato che mi abbia comunque portato, in seguito a qualche errore, al risultato corretto, ma per vie sbagliate

Per prima cosa ho verificato se si presentasse una forma indeterminata, e svolgendo separatamente il limite all'esponente e della base dell'esponenziale a base variabile ho determinato che si trattava di una forma indeterminata del tipo 1^{\infty}

Appurata la presenza della forma indeterminata per prima cosa ho operato un'equivalenza asintotica all'esponente, sostituendo alla funzione \sin{\left(x\right)} al suo numeratore il corrispondente equivalente asintotico x in quanto in questo caso x->0.

Pertanto ho ottenuto

\lim_{x\to 0}(\frac{\sin(x)}{x})^{\frac{x}{x-\sin(x)}}

Dopo aver svolto questo passaggio ho fatto ricorso all'identità

f(x)=e^{\ln(f(x))}

E ho riscritto il limite, sfruttando la continuità della funzione esponenziale in tutto il suo dominio e una proprietà dei logaritmi, come

e^{\lim_{x\to 0}\frac{x}{x-\sin(x)}ln\left (\frac{\sin(x)}{x} \right )}

Dopo aver fatto ciò, dopo aver appurato di aver ottenuto una forma indeterminata del tipo 0\times\infty e aggiungendo e sottraendo 1 all'argomento del logaritmo, sapendo che in questo caso x->0, ho fatto ricorso all'equivalenza asintotica dei logaritmi sostituendo al logaritmo il suo equivalente asintotico che in questo caso è \frac{\sin(x)}{x}-1

In questo modo ho ottenuto

e^{\lim_{x\to 0}\frac{x}{x-\sin(x)}\left (\frac{\sin(x)}{x}-1  \right )}

Poiché anche dopo aver effettuato l'equivalenza asintotica, la forma indeterminata è sopravvissuta, ho operato su \tfrac{x}{x-\sin(x)} raccogliendo tutto al denominatore per -x, ottenendo così allo stesso \frac{x}{-x\left (\tfrac{\sin(x)}{x}-1 \right )}

In questo modo ho ottenuto

e^{\lim_{x\to 0}\frac{x}{-x\left (\tfrac{\sin(x)}{x}-1 \right )}\left (\frac{\sin(x)}{x}-1  \right )}

Come passaggio finale ho eseguito le opportune semplificazione ottenendo il risultato richiesto, ossia e^{-1}
 
 

Limite con esponenziale con base non costante #60399

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Serrafollower95 emt

Serrafollower95 ha scritto:
Salve, mi è stato assegnato il seguente limite da risolvere

\lim_{x\to 0}(\frac{\sin(x)}{x})^{\frac{\sin(x)}{x-\sin(x)}}

[Omissis]

Per prima cosa ho verificato se si presentasse una forma indeterminata, e svolgendo separatamente il limite all'esponente e della base dell'esponenziale a base variabile ho determinato che si trattava di una forma indeterminata del tipo 1^{\infty}


Sì hai ragione è una forma indeterminata [1^{\infty}]



Appurata la presenza della forma indeterminata per prima cosa ho operato un'equivalenza asintotica all'esponente, sostituendo alla funzione \sin{\left(x\right)} al suo numeratore il corrispondente equivalente asintotico x in quanto in questo caso x->0.

Pertanto ho ottenuto
\lim_{x\to 0}(\frac{\sin(x)}{x})^{\frac{x}{x-\sin(x)}}

Dopo aver svolto questo passaggio ho fatto ricorso all'identità

f(x)=e^{\ln(f(x))}



Ecco, sinceramente io avrei fatto prima questa trasformazione, dopo avrei utilizzato le stime asintotiche, ad ogni modo questo procedimento è corretto.



E ho riscritto il limite, sfruttando la continuità della funzione esponenziale in tutto il suo dominio e una proprietà dei logaritmi, come

e^{\lim_{x\to 0}\frac{x}{x-\sin(x)}ln\left (\frac{\sin(x)}{x} \right )}

Dopo aver fatto ciò, dopo aver appurato di aver ottenuto una forma indeterminata del tipo 0\times\infty e aggiungendo e sottraendo 1 all'argomento del logaritmo, sapendo che in questo caso x->0, ho fatto ricorso all'equivalenza asintotica dei logaritmi sostituendo al logaritmo il suo equivalente asintotico che in questo caso è \frac{\sin(x)}{x}-1



Ottimo metodo emt Hai utilizzato il limite notevole del logaritmo per ottenere la stima asintotica che ti serve emt

Hai anche giustificato il passaggio all'esponente del limite, lo puoi fare grazie alla continuità della funzione esponenziale




In questo modo ho ottenuto

e^{\lim_{x\to 0}\frac{x}{x-\sin(x)}\left (\frac{\sin(x)}{x}-1  \right )}

Poiché anche dopo aver effettuato l'equivalenza asintotica, la forma indeterminata è sopravvissuta, ho operato su \tfrac{x}{x-\sin(x)} raccogliendo tutto al denominatore per -x, ottenendo così allo stesso \frac{x}{-x\left (\tfrac{\sin(x)}{x}-1 \right )}

In questo modo ho ottenuto

e^{\lim_{x\to 0}\frac{x}{-x\left (\tfrac{\sin(x)}{x}-1 \right )}\left (\frac{\sin(x)}{x}-1  \right )}

Come passaggio finale ho eseguito le opportune semplificazione ottenendo il risultato richiesto, ossia e^{-1}


Ecco, qui c'è qualche passaggio in più sinceramente.

Una volta arrivati a



e^{\lim_{x\to 0}\frac{x}{x-\sin(x)}\left (\frac{\sin(x)}{x}-1  \right )}

Puoi scrivere:

\frac{\sin(x)}{x}-1= \frac{\sin(x)-x}{x}= -\frac{x-\sin(x)}{x}

così da ottenere:

e^{\lim_{x\to 0}\frac{x}{x-\sin(x)}\left(-\frac{x-\sin(x)}{x}  \right)}

e semplificando a croce otterrai proprio e^{-1}

emt
Ringraziano: Serrafollower95
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Os