Limite con limiti notevoli da compito in classe #59978

avt
BleakHeart
Frattale
Ciao, oggi c'era il compito in classe di Matematica e c'era un limite che andava calcolato con i limiti notevoli:

\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{1-\cos(x)}

Vi spiego in poche parole i miei procedimenti.

Prima di tutto ho scritto e^{-x} come \frac{1}{e^x}, l'ho messo in evidenza ed in seguito ho diviso numeratore e denominatore per 2x in modo tale da venirmi un limite notevole. Ho messo fuori dal limite \frac{1}{e^x} perché al limite dà 1 e sono rimasto con

\lim_{x\to 0}\frac{2x}{1-\cos(x)}

siccome mi viene una forma indefinita del tipo \left[\frac{0}{0}\right] ho moltiplicato sia numeratore che denominatore per x. Il risultato che mi viene è infinito ma non so se è giusto.

Grazie in anticipo.
 
 

Limite con limiti notevoli da compito in classe #60007

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Blackheart,

la strada che hai seguito non è male, ma la conclusione è scorretta, purtroppo questo limite non esiste: vediamo perché.

Consideriamo il limite

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{1-\cos(x)}=

Ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Al fine di risolverla, raccogliamo e^{-x} al numeratore

=\lim_{x\to 0}\frac{e^{-x}[e^{2x}-1]}{1-\cos(x)}=

e usiamo la definizione di potenza con esponente negativo per esprimere l'uguaglianza

e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}

grazie alla quale il limite diventa

=\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{e^{x}(1-\cos(x))}=

La forma indeterminata non è ancora sparita pertanto continuiamo con i passaggi algebrici con l'obiettivo di risolverla. Esprimiamo il limite del prodotto come prodotto di limiti

=\lim_{x\to 0}\frac{1}{e^{x}}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{1-\cos(x)}=

Il primo limite si risolve per sostituzione diretta e il suo valore è 1 pertanto

=\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{1-\cos(x)}=

A questo punto riconduciamoci limite notevole dell'esponenziale in forma generale

\lim_{h(x)\to 0}\frac{e^{h(x)}-1}{h(x)}=1

moltiplicando e dividendo per 2x

=\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot\frac{2x}{1-\cos(x)}=

ed esprimiamo il limite del prodotto come prodotto di limiti, il primo dei quali è esattamente il limite notevole dell'esponenziale

=\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{2x}{1-\cos(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2x}{1-\cos(x)}=

Interviene ora il limite notevole del coseno ma abbiamo bisogno di una x al numeratore per poterlo applicare: poco male, moltiplichiamo e dividiamo per x

=\lim_{x\to 0}\frac{2x^2}{1-\cos(x)}\cdot \frac{1}{x}=(\bullet)

In base al limite notevole del coseno otteniamo

\lim_{x\to 0}\frac{2x^2}{1-\cos(x)}=2\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1-\cos(x)}=2\cdot2=4

e dunque il limite da risolvere diventa:

(\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{4}{x}

Attenzione! Concordemente con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi, se x tende a zero da destra allora il limite è +\infty.

Se x tende a zero da sinistra invece il limite è -\infty.

In definitiva

\\ \lim_{x\to 0^+}\frac{4}{x}=+\infty \\ \\ \lim_{x\to 0^-} \frac{4}{x}=-\infty

e poiché i limiti non coincidono il limite di partenza non esiste.
Ringraziano: Omega, BleakHeart, Marise
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Os