Funzione a tratti con discontinuità eliminabile #59413

avt
manintercup
Punto
È ormai da 2 mesi che abbiamo affrontato lo studio dei punti di discontinuità in classe, e che ho visto le funzioni definite a tratti, ma non mi è ancora chiaro tutto.

Ho letto la lezione su YouMath ma ho ancora qualche dubbio, come nell'esercizio che segue: individua e classifica gli eventuali punti di discontinuità della funzione a tratti

f(x)=\begin{cases}e^{\frac{1}{x}} &\mbox{se}\ x<0 \\ \arctan\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{\pi}{2} &\mbox{se}\ 0<x<1 \\ \arctan(x) & \mbox{se}\ x\geq 1\end{cases}

Il limite di x\to0 per la prima funzione, svolgendola, viene e^0 quindi 1. Per la seconda invece mi viene 0.

Il limite di x\to1 per la seconda mi viene -\frac{\pi}{4}, per la terza invece \frac{\pi}{4}.

Il libro indica come risultati per x=0: punto di discontinuità eliminabile; per x=1 discontinuità a salto.

Capisco il secondo ma non tanto il primo. La mia domanda è: per x=0 è eliminabile perché nelle condizioni delle funzioni x=0 non è accettabile? Se riuscite, potreste dirmi una regola generale sintetica per imparare quando vi è una discontinuità di prima, seconda specie o eliminabile?
 
 

Funzione a tratti con discontinuità eliminabile #59437

avt
Omega
Amministratore
Ciao Manintercup, il presupposto per una piena comprensione della mia risposta è aver letto e digerito le differenze tra i vari tipi di punti di discontinuità (click!). Nota bene: mi rivolgo a chiunque legga questa discussione più che a te che l'hai già letta.

Hai commesso un errore nel calcolo di un limite e a scanso di equivoci sottolineo un aspetto fondamentale per questo tipo di esercizi: quando si calcolano i limiti da sinistra e da destra bisogna fare molta attenzione al ramo di funzione che si sceglie.

Consideriamo la funzione definita a tratti

f(x)=\begin{cases}e^{\frac{1}{x}}&\mbox{se}\ x<0\\ \arctan\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{\pi}{2}&\mbox{se} \ 0<x<1\\ \arctan(x)&\mbox{se}\ x\ge1\end{cases}

ed osserviamo che il primo, secondo e terzo ramo della funzione risultato essere funzioni continue sui propri domini. Gli unici punti su cui approfondire l'indagine sono i cosiddetti punti di raccordo, ossia quei punti in cui avviene il cambio dell'espressione analitica.

Nel caso in questione i punti di raccordo sono x=0\ \mbox{e}\ x=1.

Studio della continuità nel punto x=0: calcoliamo i due limiti da sinistra e da destra e confrontiamoli con il valore assunto dalla funzione nel punto.

Nel calcolo del limite destro e del limite sinistro bisogna stare molto attenti alla scelta del ramo. Quando x\to0^{-}, ossia quando la variabile x tende a 0 per valori minori di 0, dobbiamo prendere in considerazione il primo ramo e calcolare il limite

\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}}=0

Osserviamo che il limite da sinistra va calcolato per x\to0^{-}, e in accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi

\frac{1}{x}\to_{x\to 0^{-}}-\infty

L'esponenziale con base maggiore di 1, inoltre, va a 0 se l'esponente tende a -\infty.

Consideriamo il limite destro: questa volta prenderemo in considerazione il secondo ramo della funzione

\lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}\left(\arctan\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0

Il secondo limite va calcolato da destra di x=0, quindi

\frac{1}{x}\to_{x\to0^{+}}+\infty

e l'arcotangente a +\infty va a \frac{\pi}{2}.

Deduciamo dunque che il limite destro e il limite sinistro per x\to 0 sono finiti e coincidono tra loro, solo che la funzione non è definita nel punto x=0.

Notiamo, infatti, che non è presente il simbolo di "uguale" in nessuno dei due simboli di disuguaglianza relativi a x=0. Il punto x=0 è di conseguenza un punto di discontinuità di terza specie, o eliminabile.

Analizziamo l'altro punto di raccordo, ossia x=1 e calcoliamo il limite destro e il limite sinistro per x\to1 stando naturalmente attenti al ramo della funzione da prendere in considerazione.

Per x\to1^{+}, ossia quando x tende a 1 per valori maggiori di 1, prendiamo in considerazione il terzo ramo e il limite è

\lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}\arctan(x)=\frac{\pi}{4}

Quando x\to1^{-}, ossia quando x tende a 1 per valori minori di 1, prendiamo in considerazione il secondo ramo, dunque il limite da calcolare è

\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}\left(\arctan\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}

Poiché il limite destro e il limite sinistro sono sì finiti ma differenti tra loro possiamo concludere che la funzione f(x) non è continua in x=1: tale punto è un punto di discontinuità di prima specie per f(x).
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