Asintoti di una funzione esponenziale

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Asintoti di una funzione esponenziale #59330

avt
BleakHeart
Frattale
Buonasera ragazzi, sto facendo i compiti per casa e ho dubbi con un esercizio sul calcolo degli asintoti di una funzione esponenziale, non so se i calcoli che ho fatto sono giusti.
La funzione in questione è:

y=e^{-x^{2}}

Per trovare l'asintoto verticale, ho calcolato i limiti che tendono a 0 sia da destra che da sinistra ed entrambi hanno il risultato 1 e di conseguenza l'asintoto verticale non esiste.

Per trovare l'asintoto orizzontale, ho calcolato i limiti che tendono a infinito sia da destra che da sinistra e qui i risultati sono :

a) 0
b) infinito.
 
 

Asintoti di una funzione esponenziale #59339

avt
Fylax
Frattale
Ciao BleakHeart, temo tu abbia le idee un po' confuse riguardo gli asintoti verticali. A tal proposito ti consiglio di andare a leggere la lezione del link.

Riassumendola, gli asintoti verticali vanno calcolati nei punti che non appartengono al dominio e intorno ai quali la funzione è definita.

Nel particolare si ha che la funzione è definita su tutto l'insieme reale, ovvero:
C.E.=Dom=\mathbb{R}

Già da questa condizione è evidente che non possono esistere asintoti verticali nella data funzione.

Perciò il quesito è: esistono asintoti orizzontali o asintoti obliqui?

Come giustamente suggerisci per verificarne l'esistenza, la prima cosa da fare è calcolare i limiti all'infinito.

Perciò:

\lim_{x \to - \infty}e^{-x^2}=e^{-(-\infty)^2}=e^{-\infty}=0

\lim_{x \to + \infty}e^{-x^2}=e^{-(+\infty)^2}=e^{-\infty}=0

Si evince quindi che la funzione presenta due asintoti orizzontali per x=0

Trovati gli asintoti orizzontali si può infine escludere a priori l'esistenza di asintoti obliqui in quanto uno esclude l'altro.

Vorrei inoltre precisare che gli asintoti trovati hanno perfettamente senso in quanto la funzione è pari e dunque simmetrica rispetto all'origine!
Ringraziano: Omega, BleakHeart

Re: Asintoti di una funzione esponenziale #59384

avt
BleakHeart
Frattale
non è che ho le idee confuse con gli asintoti verticali, il problema è questo tipo di dominio.

In questi casi non dovrei fare le CE dell'esponente?

Re: Asintoti di una funzione esponenziale #59386

avt
Omega
Amministratore
Ciao, non ve n'è motivo di farlo. Anche se riscrivi la funzione come

f(x)=\frac{1}{e^{x^2}}

a denominatore hai una funzione esponenziale, che sul proprio dominio è sempre positiva.

D'altra parte g(x)=e^{x^2} è definita su tutto \mathbb{R}, dunque è positiva su tutto \mathbb{R}.


Se avessimo avuto f(x)=e^{-\frac{1}{x}}, allora in questo caso avremmo dovuto porre x\neq 0, ma tale condizione si riferisce alla frazione \frac{1}{x}.
Quindi per x\neq 0

f(x)=e^{-\frac{1}{x}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}}

non avrebbe richiesto ulteriori condizioni, perché per x\neq 0 il termine e^{\frac{1}{x}} sarebbe positivo e mai nullo.
Ringraziano: BleakHeart

Re: Asintoti di una funzione esponenziale #59436

avt
BleakHeart
Frattale
Grazie omega.

Se ad esempio ho una funzione simile a questa dove al posto di -x^{2} c'è un logaritmo, dovrei unire il dominio dell'esponenziale a quello del logaritmo?

Scusatemi per il disturbo.

Re: Asintoti di una funzione esponenziale #59438

avt
Omega
Amministratore
Prego emt

Ma la tua domanda è troppo vaga. Unione no di certo.

Ti faccio un enorme favore e rispondo in un colpo solo a tutti gli eventuali dubbi che potrebbero venirti in mente: regole per trovare il dominio di una funzione.
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Os