Calcolatore e dominio con radici dispari

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Calcolatore e dominio con radici dispari #59199

avt
DieBtt
Punto
Ciao a tutti ragazzi! ho bisogno di un aiutino con questa funzione:

f(x)=\sqrt[3]{\frac{e^{2x}}{e^{x}-1}}

So che nella determinazione del campo di esistenza di questa funzione devo solamente considerare il denominatore diverso da 0 in quanto la radice è di indice dispari e non c'è nessun logaritmo. Quindi:

e^{x}-1\neq 0

e^{x}\neq 1

\ln e^{x}\neq \ln(1)

x\neq 0

quindi il dominio è  (-\infty ;0) \cup (0;+ \infty)

Usando però il calcolatore online per un controllo se il risultato è giusto il dominio è
\{x \in \mathbb{R}\ :\ x > 0\}

Il dubbio che ho è: e^{x}\neq 1 deve essere considerato \forall x\in \mathbb{R} ?
 
 

Calcolatore e dominio con radici dispari #59217

avt
Omega
Amministratore
Ciao DieBtt emt i calcolatori e le macchine possono avere grandi limiti...ad esempio nella gestione delle radici ad indici dispari. emt

Prendi il 99% dei calcolatori e dei software di calcolo, e dai loro in pasto una semplice funzione come f(x)=\sqrt[3]{x}. Ti diranno che tale funzione è definita solamente per x>0, mentre è chiaro che essa ha dominio \mathbb{R}.

Hai ragione tu, ha torto il calcolatore. emt

Il motivo: tutti i software di calcolo lavorano con le radici quadrate convertendole in esponenziali ad esponente logaritmico. In pratica se s\in\mathbb{R} è minimo minimo un numero razionale, elaborano x^{s} come

x^s=e^{\log{(x^s)}}=e^{s\log{(x)}}

E fin qui tutto bene o quasi, perché la precedente identità vale solo e solamente per un argomento del logaritmo positivo! In sintesi, i risolutori si tagliano le mani da soli e non considerano l'eventualità (-x)^s=-(x^s) che è valida per ogni s\in\mathbb{Q} che conduce ad una radice ad indice intero e dispari.

Vai sereno. emt
Ringraziano: CarFaby
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Os