Domande su dominio e codominio illimitati

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Domande su dominio e codominio illimitati #5872

avt
Albert-E.
Punto
Salve a tutti emt mi aiutereste a chiarire i seguenti dubbi sull'illimitatezza dominio e codominio?

Quando si può definire illimitato un domino ?

Quando e come si definisce il codominio di una funzione? E quando può essere definito illimitato?

Se il dominio di una funzione è tutto R, escluso un numero x, oppure esclusi tutti i numeri (maggiori o minori) di un numero x, lo si può definire lo stesso illimitato?

Da queste tre domande si può trarre quanto segue: il dominio di una funzione non è illimitato se questa funzione è definita in un preciso intervallo chiuso?
 
 

Domande su dominio e codominio illimitati #5900

avt
Ifrit
Amministratore
Un dominio illimitato è un insieme non limitato.
La definizione formale si ottiene negando la definizione di insieme limitato.

Data una funzione f:\mbox{dom}(f)\longrightarrow \mbox{Im}(f)

dove \mbox{dom}(f) è il dominio,
\mbox{Im}(f) è l'immagine della funzione f (attenzione, codominio e immagine sono due cose distinte)

\mbox{dom}(f) è illimitato se e solo se per definizione:
\forall M>0\,\,\exists x\in \mbox{dom}(f): |x|>M

Un insieme di dominio illimitato è ad esempio quello del logaritmo, esponenziale, di tutte le funzioni polinomiali, del seno, del coseno...

Il codominio di una funzione è per definizione un qualsiasi insieme contenente l'immagine di una funzione.

Cerca di comprendere questa informazione prima di continuare.


Intanto rispondiamo alle altre domande:

-Se il dominio è tutto \mathbb{R} escluso un punto allora il dominio è illimitato.

Se ad \mathbb{R} togliamo l'insieme (a, +\infty) allora quello che ci rimane è (-\infty, a] che è ancora un insieme illimitato.
Per gli intervalli la situazione si semplifica:

Un intervallo si dice illimitato quando uno degli estremi è \infty (+/- dipende dall'estremo emt).

L'ultima frase è errata, esistono intervalli chiusi ma non limitati ad esempio:

[0, +\infty) che è il dominio della radice quadrata.

Domande su dominio e codominio illimitati #5902

avt
Omega
Amministratore
Ciao Albert-E, le tue domande sono molto interessanti perché fanno riferimento a nozioni base dello studio delle funzioni reali di variabile reale. Le risposte che richiedono sono anche molto lunghe: si potrebbe scrivere un mini-trattato di rudimenti sullo studio delle funzioni!

Però (c'è un grande però emt ) la soluzione a tutti i tuoi quesiti è a portata di una manciata di click.

Per la limitatezza/illimitatezza di dominio o codominio, essendo questi insiemi, si fa riferimento alla definizione di insieme limitato o illimitato. Tutto quello che ti serve lo trovi qui:

Qui invece trovi vita, morte e miracoli sulle funzioni reali di variabile reale.

Sinteticamente, il dominio di una funzione è illimitato quando ha estremo inferiore o superiore illimitato (rispettivamente -\infty, +\infty). Il codominio di una funzione, invece, contiene l'insieme delle immagini della funzione, nel caso di funzioni reali di variabile reale è un sottoinsieme di \mathbb{R}, proprio o improprio, dove \mathbb{R} è inteso come insieme di arrivo. In poche parole l'immagine di una funzione è data da

Im(f)=\{y=f(x)\mbox{ tale che }x\in Dom(f)\}

ed è limitato o illimitato secondo la definizione di insieme limitato o illimitato.

Per quanto riguarda la tua terza e quarta domanda, dovrai fare in tutti i casi riferimento alle definizioni di insieme limitato o illimitato. E' chiaro comunque che se i due estremi del dominio sono entrambi finiti, allora il dominio è un sottoinsieme limitato di \mathbb{R}. Non fare riferimento ai punti interni che vengono esclusi, fai solamente riferimento agli estremi. Se anche uno solo di questi non è finito, allora il dominio è illimitato.

Sono comunque convinto che le nostre letture potranno risolvere tutti i tuoi dubbi emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Domande su dominio e codominio illimitati #5911

avt
Albert-E.
Punto
Grazie Mille per l'aiuto... emt
E complimenti per il sito, state coltivando un grande progetto se resterà su questi livelli di serietà e professionalità. Spesso, purtroppo, i libri di matematica danno troppe cose per scontato non riuscendo a colmare lacune portate nel corso degli anni..
Ringraziano: Omega

Domande su dominio e codominio illimitati #6205

avt
Omega
Amministratore
Ciao Albert-E, ti rispondo in ritardissimo a causa del trasferimento sul nuovo server e della messa offline del sito! emt

Grazie mille per i complimenti, noi dello Staff ce la mettiamo tutta per dare un aiuto che sia ben oltre il livello della sufficienza: sicuramente ci mettiamo tutta la nostra professionalità e il nostro impegno. Comunque, sapere che è apprezzato ci dà forza ed è la garanzia, essenziale per noi, che ci troviamo sulla giusta strada emt
Ringraziano: Pi Greco
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Os