Legame tra il teorema di Rolle e quello di Lagrange

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Legame tra il teorema di Rolle e quello di Lagrange #58609

avt
giubado
Punto
Salve a tutti emt
vorrei sapere il legame tra il teorema di Lagrange e quello di Rolle e come questi determinino la crescita e decrescita di una curva.
So che iI teorema di Rolle può essere visto come un caso particolare del teorema di Lagrange:
se in quest’ultimo si suppone sia f(a)=f(b), dalla formula

(f(b)-f(a))/(b-a) = f'(c)

si ottiene che f'(c) = 0.

Ma il legame è solo questo c'è in termini teorici come si può formulare? E sopratutto come si determinano la crescita e decrescita di una curva?

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Legame tra il teorema di Rolle e quello di Lagrange #58625

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao giubado emt

In effetti il teorema di Rolle è un caso particolare del teorema di Lagrange emt

Tu hai determinato la condizione che ti serve! Ottimo! In realtà però per dimostrare il teorema di Lagrange possiamo utilizzare il teorema di Rolle applicato alla funzione ausiliaria:

h(x) = f(x)-(f(a)+(f(b)-f(a))/(b-a)(x-a))

dove f è una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b).

Grazie a queste informazioni possiamo subito dire che la funzione h soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle pertanto esiste c∈ (a,b) tale che h'(c) = 0

ma la derivata prima di h è:

h'(x) = f'(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))

Pertanto:

h'(c) = 0 ⇔ f'(c)-((f(b)-f(a))/(b-a)) = 0 ⇔ f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)

e questa è proprio la tesi del teorema di Lagrange e lo abbiamo dimostrato tramite Rolle! emt

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Per la crescenza e la decrescenza delle funzioni derivabili facciamo ricorso al teorema di Lagrange. Questo è l'enunciato:

Sia f:(a,b) → R una funzione continua e derivabile. Se f'(x) ≥ 0 per ogni x appartenente all'intervallo (a,b). Allora per ogni x_1, x_2 appartenenti all'intervallo [a,b] con x_1 < x_2 si ha che f(x_1) ⤠f(x_2).

Come si dimostra? Semplice, consideriamo l'intervallo [x_1, x_2] e applichiamo ad esso il teorema di lagrange le cui ipotesi sono soddisfatte. Esiste quindi c in (x_1, x_2)

(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1) = f'(c)

Ma f'(c) ≥ 0 e dunque:

(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1) ≥ 0

Osserva ora che poiché x_1 < x_2 allora x_2-x_1 > 0 di conseguenza affinché la disequazione venga soddisfatta dobbiamo pretendere che:

f(x_2) ≥ f(x_1)

Dall'arbitrarietà dell'intervallo preso in considerazione possiamo concludere che la funzione è crescente emt
Ringraziano: Omega, giubado
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Os