Legame tra il teorema di Rolle e quello di Lagrange

Salve a tutti
vorrei sapere il legame tra il teorema di Lagrange e quello di Rolle e come questi determinino la crescita e decrescita di una curva.
So che iI teorema di Rolle può essere visto come un caso particolare del teorema di Lagrange:
se in quest’ultimo si suppone sia f(a)=f(b), dalla formula



si ottiene che f'(c) = 0.

Ma il legame è solo questo c'è in termini teorici come si può formulare? E sopratutto come si determinano la crescita e decrescita di una curva?

Grazie in anticipo!

Ciao giubado

In effetti il teorema di Rolle è un caso particolare del teorema di Lagrange

Tu hai determinato la condizione che ti serve! Ottimo! In realtà però per dimostrare il teorema di Lagrange possiamo utilizzare il teorema di Rolle applicato alla funzione ausiliaria:



dove è una funzione continua in e derivabile in .

Grazie a queste informazioni possiamo subito dire che la funzione h soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle pertanto esiste tale che

ma la derivata prima di h è:



Pertanto:



e questa è proprio la tesi del teorema di Lagrange e lo abbiamo dimostrato tramite Rolle!

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Per la crescenza e la decrescenza delle funzioni derivabili facciamo ricorso al teorema di Lagrange. Questo è l'enunciato:

Sia una funzione continua e derivabile. Se per ogni x appartenente all'intervallo (a,b). Allora per ogni appartenenti all'intervallo [a,b] con si ha che .

Come si dimostra? Semplice, consideriamo l'intervallo e applichiamo ad esso il teorema di lagrange le cui ipotesi sono soddisfatte. Esiste quindi c in



Ma e dunque:



Osserva ora che poiché allora di conseguenza affinché la disequazione venga soddisfatta dobbiamo pretendere che:



Dall'arbitrarietà dell'intervallo preso in considerazione possiamo concludere che la funzione è crescente