Massimi e minimi di funzione con radice #58552

avt
Omar_93
Punto
Ieri parlavo con un amico che mi ha proposto di aiutarlo a risolvere un problema di massimo e minimo di una funzione con una radice quadrata.

La funzione di cui dovevo trovare i massimi e minimi è questa:

f(x)=x\sqrt{x-1}

Per studiare i massimi e i minimi ho usato la procedura classica che tutti conosciamo, ho calcolato la derivata prima, che dopo qualche passaggio di semplificazione e denominatore comune mi ha dato:

f'(x)=\frac{3x-2}{2\sqrt{x-1}}

Ho verificato anche sul calcolatore che sia corretta e torna. A questo punto per trovare le radici di tale frazione uso la regola che "una frazione è nulla quando è nullo il suo numeratore" (insegnatami alle superiori), dunque studio:

3x-2 = 0

di cui la soluzione è x=\frac{2}{3}.

Sostituendo il valore della soluzione nella funzione capisco da subito che c'è qualcosa che non torna, perché nella radice mi compare un numero negativo e la radice è definita solo per x\geq 0, dunque ho sbagliato per forza qualcosa. Sul calcolatore risulta che tale funzione ha un minimo in x = 1, il che mi torna anche se non capisco come si possa arrivare a tale risultato con il metodo che ho applicato io.

Che c'è di sbagliato nel mio ragionamento?
 
 

Massimi e minimi di funzione con radice #58555

avt
Omega
Amministratore
Ciao Omar_93,

comincio dal nocciolo della questione. È tutta una questione di derivabilità.

Ci troviamo di fronte alla funzione

f(x)=x\sqrt{x-1}

La prima cosa da fare quando si lavora con una qualsiasi funzione è capire dove essa è definita, il che vuol dire calcolare il dominio.

L'unica condizione da imporre riguarda l'esistenza della radice, che è definita solamente per radicandi non negativi (maggiori o uguali a zero)

x-1\geq 0\ \to\ Dom(f)=\{x\geq 1\}

Tutto ciò che si trova al di fuori del dominio della funzione non la riguarda.

Bene. Vogliamo studiare i punti estremanti di f(x), ma prima di farlo vale la pena di studiare il segno della funzione. Risolviamo la disequazione

f(x)\geq 0\ \to\ x\sqrt{x-1}\geq 0

il che significa studiare separatamente il segno dei due fattori

\\ x\geq 0\\ \\ \sqrt{x-1}\geq 0\ \to\ x\geq 1

e confrontarli nel classico grafico dei segni. Occhio: dobbiamo lavorare solo ed esclusivamente nell'intervallo \{x\geq +1\}\ !

La funzione è positiva per x> +1, cioè è positiva su tutto il proprio dominio meno che nel punto x=1 in cui è nulla.

Passiamo al calcolo della derivata: grazie alla regola di derivazione del prodotto

f'(x)=\frac{3x-2}{2\sqrt{x-1}}

Procediamo con il solito metodo per lo studio di massimi e minimi.

Attenzione però: tale metodo vale solo e solamente per gli intervalli in cui la funzione è derivabile, e in ogni caso tutte le considerazioni che addurremo si riferiranno all'intersezione tra il dominio della funzione e il dominio della derivata prima

Dom(f)\cap Dom(f')=[+1,+\infty)\cap (+1,+\infty)=(+1,+\infty)

Nota che abbiamo escluso il punto x=+1, perché f'(x) non è ivi definita.

Passiamo al segno della derivata prima

f'(x)>0\ \to\ x>\frac{2}{3}

Dato che \frac{2}{3}<1, abbiamo scoperto che la derivata prima è positiva per x>+1. Le informazioni relative a ciò che succede a sinistra di x=+1 sono prive di significato nel contesto in cui lavoriamo!

La derivata è positiva per x>+1, su tale intervallo la funzione è derivabile e dunque essa è crescente per x>+1. Ne ricaviamo che nell'intervallo (+1,+\infty) la funzione non presenta punti estremanti.

L'unico punto che resta da considerare è x=+1. Dato che f(x)>0 per ogni x>+1 e dato che f(+1)=0, si conclude facilmente che x=+1 è un punto di ]minimo assoluto per f(x).

Conclusione: presta sempre molta attenzione al dominio della funzione, agli intervalli in cui essa è derivabile e alle ipotesi richieste dai metodi che intendi applicare.

Massimi e minimi di funzione con radice #58559

avt
Omar_93
Punto
Grazie!

Il chiarimento è più che esaustivo, effettivamente dopo aver postato il topic avevo anche notato che in x=\frac{2}{3} la derivata non è proprio definita perché non è possibile calcolare la radice a denominatore.

In conclusione x=1 è punto di minimo perché la funzione da 1 in poi è sempre crescente e dunque è logico che 1 sia punto di minimo.
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Os