Sui limiti con forma indeterminata 0 per infinito

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Sui limiti con forma indeterminata 0 per infinito #58021

avt
Lorenzomag1980
Punto
Salve! Ho dei problemi a calcolare i limiti di funzioni che presentano una forma indeterminata del tipo 0 per infinito \left[0\cdot \infty \right], quando la funzione non è composta da funzioni goniometriche.

Mi spiego: il mio libro riporta la spiegazione per il limite

\lim_{x\rightarrow \left(\frac{\pi}{2}\right)^{-} }{\left(1-\sin{\left(x\right)}\right)\cdot \tan{\left(x\right)} }

che mi è chiaro. Un limite del genere è anche calcolato nell'esercizio svolto.

Tra gli esercizi del libro, vi sono tuttavia limiti di funzioni non goniometriche. Per esempio:

\lim_{x\rightarrow 1 }{\frac{2x^{2}}{3-3x^{2}}\cdot \left(\sqrt{2-x}-1\right) }

Purtroppo, tutto quello che riesco a fare è raggiungere una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right], ma senza saper procedere da lì.

Come posso raggiungere il risultato di \frac{1}{6} ?

Vi ringrazio in anticipo!
 
 

Sui limiti con forma indeterminata 0 per infinito #58031

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Lorenzomag1980,

Ti dirò la verità, ogni limite è un "caso a sé", nel senso che le tecniche di risoluzione dei limiti sono tantissime, è necessario allenarsi per determinare la strada migliore. Fortunatamente YouMath è provvista di tutto ciò che serve per il calcolo dei limiti. Leggi per prima cosa lo schema su come affrontare le forme indeterminate. Sono suggerimenti, certo, ma aiutano tantissimo.

Veniamo a noi.

Dobbiamo calcolare il limite

\lim_{x\to1}\frac{2x^2}{3-3x^2}(\sqrt{2-x}-1)=

che si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right].

La presenza del radicale dovrebbe far suonare un campanello d'allarme: probabilmente una razionalizzazione potrebbe eliminare la forma indeterminata.

Proviamoci, moltiplichiamo e dividiamo per il fattore razionalizzante \sqrt{2-x}+1

=\lim_{x\to 1}\frac{2x^2}{3-3x^2}\frac{(\sqrt{2-x}-1)(\sqrt{2-x}+1)}{\sqrt{2-x}+1}=(\bullet)

Applicando la regola relativa al prodotto tra una somma e una differenza

(A-B)(A+B)= A^2-B^2

il limite diventa

(\bullet)=\lim_{x\to1}\frac{2x^2}{3-3x^2}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}+1}=(\bullet\bullet)

Il prossimo passaggio consiste nello scomporre il polinomio 3-3x^2:

3-3x^2= 3(1-x^2)= 3(1-x)(1+x)

Rimpiazzando la scomposizione nel limite

(\bullet\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{2x^2}{3(1-x)(1+x)}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}+1}=

e semplificando 1-x sparisce la forma indeterminata pertanto siamo in grado di giungere al risultato applicando l'algebra dei limiti

=\lim_{x\to1}\frac{2x^2}{3(1+x)} \frac{1}{\sqrt{2-x}+1}=\frac{1}{6}

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Omega, Lorenzomag1980

Sui limiti con forma indeterminata 0 per infinito #58032

avt
Lorenzomag1980
Punto
Grazie mille! Sei eccezionale!
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Os