Applicare il limite notevole del seno per un limite fratto

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Applicare il limite notevole del seno per un limite fratto #57695

avt
BleakHeart
Frattale
Ciao ragazzi, ieri la prof ha spiegato il limite notevole del seno e ho fatto vari esercizi di applicazione, e mi sono venuti, ma uno in particolare non mi viene. E' un limite fratto:

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin(2x)+4x}{\sin(4x)-8x}

Allora questo esercizio ho provato a risolverlo mettendo 2x=y ed arrivo ad un punto in cui non so più che fare... questo è il seguente punto:

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin(y)+2y}{\sin(2y)-4y}

PS: il risultato è -3/2.
 
 

Applicare il limite notevole del seno per un limite fratto #57702

avt
Omega
Amministratore
Ciao BleakHeart, prima la parte importante della risposta...

Hai cominciato a studiare da poco i limiti notevoli. Inizialmente la risoluzione degli esercizi è macchinosa e pallosa, ma dopo un po' di tempo si passa ad un metodo di applicazione molto più furbo e veloce.

Per il momento non fa per te, ma quando sarà opportuno la guida "come usare i limiti notevoli" ti tornerà MOLTO utile.

Veniamo a noi. Vogliamo calcolare il

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)+4x}{\sin(4x)-8x}

È evidente, procedendo per sostituzione diretta, che il limite dà luogo ad una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right].
Cerchiamo di calcolarne il valore applicando il limite notevole del seno

\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}}{x}=1

Nella colonna destra della tabella dei limiti notevoli è indicata la forma generale di ciascun limite notevole - che poi è quella che si usa realmente negli esercizi

\lim_{x\to qualcosa}\frac{\sin{[f(x)]}}{f(x)}=1

valido a patto che, al tendere di x\to qualcosa, risulti che f(x)\to 0.

Ad esempio il limite notevole del seno continua a valere se prendiamo

\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(44x)}}{44x}=1

o anche

\lim_{x\to 99}\frac{\sin{(x-99)}}{x-99}=1

ok? emt


Per poterlo applicare sia a numeratore che a denominatore, usiamo un piccolo trucchetto algebrico: moltiplichiamo e dividiamo il numeratore per l'argomento del seno del numeratore, e moltiplichiamo e dividiamo il denominatore per l'argomento del seno del denominatore

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin(2x)+4x}{\sin(4x)-8x}=\lim_{x\to 0}{\frac{\left[\sin(2x)+4x\right]\frac{2x}{2x}}{\left[\sin(4x)-8x\right]\frac{4x}{4x}}=

cioè

=\lim_{x\to 0}\frac{\left[\frac{\sin(2x)}{2x}+\frac{4x}{2x}\right]\cdot 2x}{\left[\frac{\sin(4x)}{4x}-\frac{8x}{4x}\right]\cdot 4x}=(\bullet)

Bene! Possiamo applicare il limite notevole

\\ \frac{\sin(2x)}{2x}\to_{x\to 0} 1 \\ \\ \\ \frac{\sin(4x)}{4x}\to_{x\to 0} 1

fare un paio di semplificazioni e ritrovarci con

(\bullet)=\frac{\left[1+2\right]\cdot 2}{[1-2]\cdot 4}=-\frac{3}{2}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Ifrit, BleakHeart

Re: Applicare il limite notevole del seno per un limite fratto #57824

avt
BleakHeart
Frattale
Grazie Omega, sei eccezionale.
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Os