Funzione con grafico che passa per coppie di punti, dominio e codominio

Buongiorno a tutti, vi sarei molto grata se mi aiutaste in un esercizio in cui devo scrivere una funzione con grafico che passa per determinate coppie di punti, e trovare dominio e codominio.

Il problema ci è stato assegnato dalla prof. Abbiamo appena iniziato lo studio di funzione e ho grosse difficoltà:

"devono essere piastrellati 5 piazzali quadrati i cui lati sono rispettivamente di metri 4 ; 5,5 ; 6 ; 8 ; 10. Sarà necessario scoprire l'area dei singoli piazzali e la superficie totale da piastrellare. Calcola le aree e riporta le misure nella tabella.

X I Y
4 I
5,5 I
6 I
8 I
10 I

(e fin qui è chiaro) dovrei mettere sotto la y le rispettive aree.
Poi però mi chiede:

1. Sapresti trovare l'equazione di una curva che passi per tutti i punti del grafico?
2. Il grafico corrispondente alla funzione trovata può passare per tutti i punti?
3. Il dominio della funzione trovata è?
4: il condominio è?

Ragazzi, davvero nessuno può darmi una dritta? Non chiedo le soluzioni, chiedo solo che mi aiutiate a capire come procedere, come operare...
Grazie....

Ciao BiancaChiara, calma... ...è consentito uppare una propria discussione non prima che siano trascorse 24 ore dal momento della pubblicazione, e non 2 ore...

D'altra parte questo è un Forum, dopo aver postato ci vogliono solamente un filo di pazienza e soprattutto fiducia.


Veniamo al tuo problema. La prima cosa che devi fare è individuare la funzione che associa ai valori della tabella i corrispondenti valori . Per noi è il lato di un quadrato e è l'area del quadrato di lato

, dove , associa alla misura del lato l'area del quadrato .[/center]

L'area di un quadrato di lato si calcola come: .

La formula per l'area del quadrato ci dà esplicitamente l'espressione analitica della funzione!



cioè associa ad un valore il valore .

Domanda: possiamo prendere qualsiasi o è soggetto a qualche limitazione? Dato che la misura di un lato non può essere negativa, e può valere come caso limite, dovremo richiedere .

[center]

definita da [/center]


L'espressione analitica della funzione che abbiamo scritto fornisce l'equazione esplicita di una curva nel piano cartesiano: una semi-parabola col vertice nell'origine e che giace nel primo quadrante




Una piccola osservazione riguardante il dominio, che ora non apprezzerai particolarmente ma per la quale mi sarai grata in futuro.

Il dominio naturale della funzione è l'insieme . Con "dominio naturale" intendo il più grande sottoinsieme improprio di in cui è definita la funzione.

In generale quando si dice "trovare il dominio di una funzione" si intende "trovare il dominio naturale".

Quando però si affrontano esercizi come quello che hai proposto, e si chiede di determinare il dominio della funzione, bisogna tenere conto di condizioni aggiuntive. Qui ad esempio dovevamo tenere conto del fatto che la funzione ha come variabile la misura di un lato che non può essere negativa.

Di conseguenza, abbiamo tenuto conto della condizione aggiuntiva e abbiamo ristretto il dominio naturale al dominio della funzione descritta dal problema:

ha dominio naturale e dominio per il problema .


]Codominio

Sfortunatamente chi ha redatto il testo del tuo esercizio ha commesso un enorme abuso di linguaggio in merito alla distinzione tra immagine di una funzione e codominio di una funzione.

Il testo ti chiede di determinare il "codominio", ma in realtà vuole sapere qual è l'immagine della funzione, cioè l'insieme dei valori assunti dalla funzione sul proprio dominio.

Abbiamo dibattuto ampiamente la questione nelle due lezioni su codominio e immagine, tra l'altro nella lezione sull'immagine proponiamo diversi metodi per la risoluzione degli esercizi...

In ogni caso, nomi a parte, la richiesta è: "qual è l'insieme dei valori assunti dalla funzione sul proprio dominio?" Ci basta guardare il grafico di definita su e proiettare tale grafico sull'asse delle .

La proiezione del grafico sull'asse delle è l'insieme dei valori assunti dalla funzione.

Nel nostro caso, . ;)

Omega, ti ringrazio moltissimo per la tua chiarissima risposta, ho ancora un po' di difficoltà a comprendere con chiarezza i concetti di dominio e condominio, non tanto nella " teoria" quanto nella loro concreta applicazione. ci sono alcune cose che mi sfuggono, ora rileggerò con calma tutte le vostre informazioni in merito, cercando trovare un po' più di luce. Ti ringrazio e ringrazio tutto il vostro staff per l'aiuto.
Bianca

Di niente! In caso di ulteriori dubbi sai dove trovarci

Occhio solo a una cosa (è un classico): c'è una "n" di troppo, è codominio