Esercizio sul teorema di esistenza degli zeri

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Esercizio sul teorema di esistenza degli zeri #56935

avt
Ariel_xtreme
Punto
Ciao a tutti, oggi nel prepararmi per il compito in classe mi sono imbattuto in questo esercizio che credo vada risolto col teorema di esistenza degli zeri:

dimostrare che il polinomio P(x)=x^5+x^3-2 ha una sola radice nell'intervallo \left[-\frac{1}{2},2\right].

Ho capito che l'esercizio era legato a questo teorema, ma mi sono bloccato una volta arrivato alla dimostrazione del teorema.

Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo.
 
 

Esercizio sul teorema di esistenza degli zeri #56941

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ariel-xtreme, hai capito bene, non ti resta che conoscere il teorema, verificare se le ipotesi richieste sono soddisfatte e applicarlo alla funzione proposta sull'intervallo considerato.

Per quanto riguarda il teorema degli zeri, puoi studiarlo o ripassarlo nella lezione del precedente link.

Per quel che riguarda l'esercizio proposto, notiamo che:

\bullet la funzione f(x)=x^5+x^3-2 è continua su tutto l'asse reale \mathbb{R}, in quanto composizione di funzioni continue (è una funzione polinomiale). Di conseguenza sarà continua sull'intervallo \left[-\frac{1}{2},2\right].

\bullet l'intervallo \left[-\frac{1}{2},2\right] è chiuso (ha gli estremi inclusi) ed è limitato (ha entrambi gli estremi finiti);

\bullet valori della funzione agli estremi dell'intervallo: calcola

\\ f\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)^5+\left(-\frac{1}{2}\right)^3-2=-\frac{69}{32} \\ \\ \\ f(2)=(2)^5+(2)^3-2=38

La funzione assume agli estremi valori di segno opposto (cioè più-meno o meno-più), allora per il teorema degli zeri esisterà almeno un punto x_0\in\left(-\frac{1}{2},2\right) interno all'intervallo per il quale f(x_0)=0. In parole povere, esisterà almeno uno zero della funzione interno all'intervallo.

Analizziamo l'unicità della soluzione. Calcoliamo la derivata prima della funzione

\frac{d}{dx}[f(x)]=\frac{d}{dx}[x^5+x^3-2]=

Grazie al teorema sulla derivata di una somma possiamo scrivere

=\frac{d}{dx}[x^5]+\frac{d}{dx}[x^3]-\frac{d}{dx}[2]=5x^4+3x^2

Nell'intervallo \left[-\frac{1}{2}, 2\right] la derivata prima è positiva o nulla, in particolare si annulla per x_1=0, pertanto f(x)

- è strettamente crescente nell'intervallo \left(-\frac{1}{2},0\right);

- ha un punto di flesso in x_1=0;

- è strettamente crescente nell'intervallo (0,2).

Tali informazioni ci permettono di concludere che f(x) è iniettiva nell'intervallo \left[-\frac{1}{2},2\right] pertanto la soluzione è ivi unica.

Osserviamo che grazie al teorema di Ruffini, è possibile scomporre il polinomio che definisce la funzione come

f(x)=(x-1)(x^4+x^3+2x^2+2x+2)

da cui si evince che l'unica soluzione è data dall'annullamento del fattore x-1:

x-1=0\iff x=1

Fatto!

Esercizio sul teorema di esistenza degli zeri #56946

avt
Ariel_xtreme
Punto
Il problema che mi si pone è, però, il dimostrare che esiste una sola intersezione con l'asse x, il che mi risulta matematicamente difficile in quanto mi trovo di fronte ad un'equazione di quinto grado che non so come risolvere.

Io mi ero bloccato proprio sul punto successivo alla dimostrazione dell'esistenza di due valori di segno opposto... non riesco a capire come fare a determinare che il punto di intersezione sia x=1.

Esercizio sul teorema di esistenza degli zeri #56949

avt
Omega
Amministratore
Non è necessario risolvere l'equazione.

Ci sono due modi per procedere, la scelta dipende dal tuo bagaglio di prerequisiti.


1) (Metodo base) Se dimostri che f(x) è una funzione iniettiva sull'intervallo \left[-\frac{1}{2},2\right], sei a cavallo, perché il punto x_0 per cui f(x_0)=0 dovrà essere necessariamente unico.


2) (Metodo che richiede la conoscenza delle derivate) Puoi studiare la monotonia della funzione studiando il segno della derivata prima f'(x). Dopo averla calcolata, risolvi la disequazione f'(x)>0 e scopri che f'(x)>0 per ogni x\in \left[-\frac{1}{2},0,\right)\cup\left(0,2\right], dunque la funzione è strettamente crescente sull'intervallo meno che nel punto x=0, in cui presenta un flesso a tangente orizzontale. Dalle valutazioni agli estremi dell'intervallo e nel punto x=0 puoi dedurre velocemente che lo zero della funzione deve appartenere all'intervallo (0,2), e che deve essere unico perché la funzione è ivi strettamente crescente. (Per approfondire: studio della derivata prima)


Quale che sia il metodo che puoi usare (e sospetto che tu possa usare solo il primo), potrai concludere l'esercizio verificando che f(1)=0. D'altra parte è lo stesso testo del problema a dirti che lo zero deve essere x_0=1, tu devi solo dimostrare che esiste uno zero e che è unico.
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