Dimostrare una disequazione col principio di induzione

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Dimostrare una disequazione col principio di induzione #56548

avt
Lucamascellaro
Punto
Buon pomeriggio! Oggi ho fatto il compito in classe e non sono riuscito a completare una dimostrazione fatta con il principio di induzione, dovevo mostrare che vale una disequazione.

Per piacere qualcuno potrebbe spiegarmelo?

Traccia: applicando il principio di induzione dimostra che \forall n \in N si ha (1+\sqrt{2})^n \geq 1+\sqrt{2}n .

Ciao a tutti!
 
 

Dimostrare una disequazione col principio di induzione #56593

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Lucamascellaro emt

Utilizzando il principio di induzione dobbiamo dimostrare che:

\forall n \in \mathbb{N}: \ (1+\sqrt{2})^n \geq 1+\sqrt{2}n

Procediamo..

1) Passo base: vediamo se la proposizione è vera per n=0:

(1+\sqrt{2})^0=1

1+\sqrt{2} \cdot 0 = 1

Verificato!

2) Passo induttivo: supponiamo la tesi vera per n, cioè

(1+\sqrt{2})^n \geq 1+\sqrt{2}n

e dimostriamola per n+1, cioè dobbiamo dimostrare che:

(1+\sqrt{2})^{n+1} \geq 1+\sqrt{2}(n+1)

Iniziamo!

Per le proprietà delle potenze:

(1+\sqrt{2})^{n+1} = (1+\sqrt{2})^n \cdot (1+\sqrt{2})

Possiamo ora applicare l'ipotesi induttiva e quindi:

(1+\sqrt{2})^{n+1} = (1+\sqrt{2})^n \cdot (1+\sqrt{2})  {\color{red}\geq} (1+\sqrt{2}n) \cdot (1+\sqrt{2})

Ora, svolgendo i prodotti, si ha

(1+\sqrt{2}n) \cdot (1+\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2} +  \sqrt{2}n + 2n =

raccogliendo a fattor comune \sqrt{2}:

=(2n+1) + \sqrt{2}(n+1)

Inoltre essendo n un numero naturale, ovviamente: 2n+1 \geq 1 in quanto stiamo sommando ad 1 un numero che può essere al minimo zero. Quindi:

(2n+1) + \sqrt{2}(n+1) \geq 1 + \sqrt{2}(n+1)

Pertanto, ricapitolando:

(1+\sqrt{2})^{n+1} \geq 1+\sqrt{2}(n+1)

che è proprio quanto volevamo provare emt
Ringraziano: CarFaby, tetorgotutto, TrattoreProdigo, Vallinox, 11diego, antonellors, mina7

Dimostrare una disequazione col principio di induzione #56598

avt
Lucamascellaro
Punto
ciao e buonasera a tutti!!!

senti galois ho capito fino ad un certo punto quando poi parli di ipotesi induttiva non sono riuscito a seguirti potresti essere piu chiaro?
grazie in anticipo!!!!!

Dimostrare una disequazione col principio di induzione #56605

avt
Galois
Coamministratore
Ti faccio una domanda.. hai letto la lezione che ti ho linkato? emt

Quando utilizzi il principio di induzione, nel passo 2), devi dimostrare che sia vera la proposizione

P(n+1) in questo caso:

(1+ \sqrt{2})^{n+1} \geq 1+\sqrt{2}(n+1)

dando per assodato che valga P(n), cioè, in questo caso, che sia vera:

(1+ \sqrt{2})^{n} \geq 1+\sqrt{2}n

come si procede?

Copio pari pari dalla lezione:

Una volta ricavata P(n+1) con qualche passaggio algebrico (che può essere più o meno semplice) ci si deve ricondurre a scrivere P(n+1)=P(n) più, meno, per, diviso "qualcosa"


Noi sfruttando la proprietà delle potenze l'abbiamo fatto! Abbiamo scritto:

P(n+1)=P(n) \cdot (1+\sqrt{2})

Ed ora?

Copio e incollo sempre dalla lezione:

A questo punto scatta l'ipotesi induttiva e vado a sostituire al posto di P(n) la sua espressione e faccio i vari conticini che mi si presentano.


Chiedo: cosa diceva la mia P(n) ?

Dice che:

(1+ \sqrt{2})^{n} \geq 1+\sqrt{2}n

Quindi

(1+\sqrt{2})^n \cdot (1+\sqrt{2})

sarà maggiore o uguale di

(1+\sqrt{2}n) \cdot (1+\sqrt{2})

Proprio perché per ipotesi induttiva so che (1+ \sqrt{2})^{n} \geq 1+\sqrt{2}n

fatto questo sviluppo i conti ricordando che devo arrivare a provare che

(1+ \sqrt{2})^{n+1} \geq 1+\sqrt{2}(n+1)
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, Norma9, antonellors
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