Variabile di integrazione muta o fittizia

Salve ragazzi, volevo fare una domanda riguardo agli integrali e al significato di variabile di integrazione muta.

Volevo sciogliere un dubbio, anche se spiegato in parole povere, volevo capire nella notazione:



qual è il significato preciso della variabile di integrazione?

Lo domando poiché quella viene chiamata variabile "muta" o "fittizia" e potremmo chiamarla come a noi piace( x, y, z, w...). Perché?

Grazie anticipatamente.

Ciao Gaten, domanda carina.

La variabile di integrazione, o variabile muta, serve sempre e solo ad individuare la variabile da cui dipende la funzione integranda E la variabile rispetto a cui integrare.

Finché si parla di integrali definiti di una funzione di una variabile, o di integrali indefiniti, si fa un uso della variabile di integrazione muta non viene percepito. Il discorso cambia quando si inizia a parlare di funzioni integrali, cioè funzioni definite mediante un integrale.

Se scriviamo



stiamo commettendo un abuso di notazione (largamente tollerato, a dire il vero). In questo contesto per questioni di coerenza e di correttezza sintattica bisogna fare uso di un'opportuna variabile muta. Al posto di è cosa buona è giusta scrivere



o comunque indicare la variabile muta con un qualsiasi nome diverso da quello della variabile che individua un estremo di integrazione







Nel contesto degli integrali doppi la scelta della variabile muta diventa ancor più rilevante perché, oltre al resto, stabilisce un preciso ordine di calcolo degli integrali.

Grazie mille per la risposta.

Inoltre ho letto che potrebbe tipo risultare utile cambiare la variabile di integrazione, qualora volessimo "trasformare" una funzione composta, in elementare ed in quel caso cambierebbe sia la variabile di integrazioe che il differenziale.
Qualcuno potrebbe chiarirmi questo concetto.

Puoi chiarire anche perchè va "cambiata" la variabile si alla funzione integranda che al differenzaile

f(s) ds, f(w)dw ...

Ne desumo che non hai grande dimestichezza con il concetto di integrale, ma non è un problema né una colpa. Siamo qui anche per questo.

Ti rimando alla lettura delle lezioni sugli integrali definiti / indefiniti che ho linkato in precedenza. Il , o "differenziale", ti dice rispetto a quale variabile va calcolato l'integrale, o se preferisci rispetto a quale variabile va integrata l'integranda.

Se ad esempio vuoi calcolare l'integrale indefinito di rispetto alla variabile , dovrai scrivere



Esempio: con .

Vuoi scriverlo come ? Sei libero di farlo, in questo contesto è una questione puramente notazionale.

Se invece vuoi calcolare l'integrale di rispetto alla variabile , dato che nella funzione non compare la variabile rispetto alla quale vogliamo integrare



Come vedi il termine esprime la variabile rispetto alla quale va calcolata la primitiva.

E nel caso di una funzione integrale, o (se preferisci) un integrale definito in cui un estremo di integrazione è variabile? In tale eventualità è importante distinguere per bene la variabile rispetto alla quale integrare e la variabile d'estremo. Un esempio



Cosa stiamo considerando? Una funzione della variabile



il cui valore è determinato da un integrale. Tale integrale ha una funzione integranda che va integrata rispetto a una variabile diversa da quella dell'estremo. L'ho chiamata , avrei potuto chiamarla anche "pippo"



e come si comporta nello specifico la precedente funzione? Calcoliamo l'integrale e integriamo la funzione rispetto alla variabile "pippo"



ora valutiamo la primitiva agli estremi di integrazione



Morale della favola: la variabile muta ci è servita per capire cosa integrare rispetto a quale variabile. Nota che la funzione integrale nella sua formulazione equivalente non dipende in alcun modo dalla variabile muta





Infine



Qui ti stai inconsapevolmente riferendo al metodo di integrazione per sostituzione, ma ti consiglio di non mettere troppa carne sul fuoco per il momento.