Una funzione lineare è continua #55747

avt
MilenaBalena
Punto
Salve a tutti, premettendo che la mia conoscenza della matematica è praticamente nulla, mi servirebbe sapere come dimostrare la continuità di una funzione lineare.
Nel forum ho già trovato una discussione sullo stesso argomento, ma non riesco a capirla.

A scuola la professoressa ci ha chiesto di dimostrare per ogni funzione la sua continuità, e io devo fare la funzione lineare. Solo che non ho né compreso i limiti, né so come verificare i limiti. In poche parole vi chiedo se avete tempo e voglia di scrivermi tutta la dimostrazione argomentandola in parole semplici.

Grazie mille.
 
 

Una funzione lineare è continua #55757

avt
Omega
Amministratore
Ciao MilenaBalena, credo che la discussione di riferimento sia questa: continuità delle funzioni lineari. È comprensibile che tu non ci abbia capito nulla, perché quella discussione è nella sezione universitaria e la spiegazione richiede un linguaggio e dei prerequisiti che un liceale non può avere.

Già che ci sono ne approfitto per metterci un avviso.

Qui vediamo come dimostrare che una funzione lineare è continua. Con funzione lineare, in questo contesto, si intende una funzione f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} avente per grafico una retta, in termini analitici una funzione del tipo

f(x)=ax+b

dove a,b\in\mathbb{R} sono costanti.

Innanzitutto ti invito a leggere con calma le seguenti spiegazioni:

- limite finito per x tendente a un valore finito;

- cos'è una funzione continua

- funzione continua in un punto

puoi anche farlo dopo aver letto tutta la mia risposta e poi ritornare a leggere qui, l'importante è che tu lo faccia. Ti suggerisco anche di dare un'occhiata agli esercizi svolti sulla verifica dei limiti. Li trovi qui su YM con la barra di ricerca, ci sono schede di esercizi proposti e (soprattutto) tantissimi esercizi interamente svolti (Forum, D&R).

Cominciamo.

Per verificare che una funzione lineare

f(x)=ax+b

è continua bisogna far vedere che è continua in ogni punto del proprio insieme di definizione. Ogni funzione lineare ha come dominio Dom(f)=\mathbb{R}.

Per verificare la continuità su un insieme ci basta prendere un punto qualsiasi dell'insieme e mostrare che la proprietà richiesta è soddisfatta. La generalità del risultato segue direttamente dalla generalità del punto considerato.

Prendiamo un punto x_0\in\mathbb{R}.

Verifichiamo che f(x) è continua in x_0. Per farlo dobbiamo mostrare che è soddisfatta la definizione di funzione continua in un punto:

comunque si sceglie un valore \varepsilon>0 (da intendere "molto piccolo"), deve esistere un valore \delta>0 "molto piccolo" dipendente da \varepsilon e tale che, prendendo x con |x-x_0|<\delta, risulti che |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.


Per provare che f(x)=ax+b soddisfa la definizione di funzione continua in un punto, ragioniamo così: prendiamo un valore \varepsilon>0 e imponiamo

|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon

se da tale imposizione seguirà la condizione

|x-x_0|<\delta

con \delta un valore dipendente da \varepsilon, allora la definizione risulterà verificata.

In buona sostanza si verifica la definizione ragionando "al contrario" (a fortiori).

Imponiamo dunque

|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon

dove f(x)=ax+b e f(x_0)=ax_0+b (valutazione della funzione nel punto x_0).

|ax+b-(ax_0+b)|<\varepsilon

Sviluppiamo i conti

|ax+b-ax_0-b|<\varepsilon

cancelliamo i termini opposti

|ax-ax_0|<\varepsilon

raccogliamo a

|a(x-x_0)|<\varepsilon

e portiamo a fuori dal valore assoluto, facendo riferimento ad una proprietà del modulo di un numero reale:

|a||(x-x_0)|<\varepsilon

Se supponiamo a\neq 0, possiamo dividere entrambi i membri della disequazione per |a| (il modulo di a è certamente positivo)

|x-x_0|<\frac{\varepsilon}{|a|}

Abbiamo finito! Ci basta prendere come valore \delta la quantità \delta=\frac{\varepsilon}{|a|}, che è una quantità dipendente da \varepsilon.

Inoltre, se \varepsilon è "molto piccolo" anche \frac{\varepsilon}{|a|} è "molto piccolo".

La definizione è verificata: f(x) è continua in x_0 e dato che x_0 è un punto arbitrario del dominio di f, la condizione di continuità è verificata in tutti i punti di \mathbb{R}.

E se fosse a=0\ ? In tal caso la generica funzione lineare si ridurrebbe ad una costante: f(x)=b. In questo caso la verifica della continuità mediante la definizione è immediata.

|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon

diventa

|b-b|<\varepsilon

e otteniamo

0<\varepsilon

Essendo \varepsilon>0, la precedente disequazione è verificata sempre e comunque e possiamo prendere come \delta un qualsiasi valore (non serve nemmeno che dipenda da \varepsilon !).

Rileggi tutto con calma. Quando si studia per la prima volta la nozione di continuità sembra difficilissima, poi prendendo un po' di confidenza diventa una passeggiata.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, Manuel1990, MilenaBalena, Mimmo93
  • Pagina:
  • 1
Os