Alternative per limiti del tipo "1 alla infinito"

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Alternative per limiti del tipo "1 alla infinito" #55429

avt
JamesMatterson
Punto
Buongiorno, volevo chiedere consiglio sui metodi da utilizzare per la risoluzione dei limiti da ricondurre a quello di Nepero, che generano forme del tipo "a alla infinito"

\lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}}=e

In particolare premetto che sono in grado di risolvere quelli in cui è sufficiente un cambio di variabile o un semplice artificio algebrico per riscrivere la frazione all'interno della parentesi, ad esempio quelli del tipo:

\lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{3x-1}{3x+2}\right)^{\frac{x}{2}}}

oppure

\lim_{x\to +\infty}{\left(1+\frac{x-3}{9-x^{2}}\right)^{x}}

Tuttavia, trovo dei problemi nel risolvere quelli un po' più complessi in cui non riesco a trasformare la "frazione interna" nel reciproco dell'esponente. Ad esempio, ve ne sono due che non sono riuscito a risolvere:

\lim_{x\to +\infty}{\left(1+\frac{x}{2x^{2}+1}\right)^{x}}

e:

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}{\left(1-cosx\right)^{tgx}

Grazie in anticipo!
 
 

Alternative per limiti del tipo "1 alla infinito" #55485

avt
Omega
Amministratore
Ciao JamesMorrison,

in casi del genere ti conviene abbandonare il limite notevole "neperiano" e fare riferimento ad una nota identità che lega esponenziale e logaritmo:

y=e^{\log{y}} (valida a patto che sia y>0)

Ad esempio

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}{\left(1-\cos(x)\right)^{\tan(x)}

diventa

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}{e^{\log{\left[\left(1-\cos(x)\right)^{\tan(x)}\right]}}

e grazie ad una nota proprietà dei logaritmi si passa a

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}{e^{\tan{(x)}\log{\left[\left(1-\cos(x)\right)\right]}}

Così facendo ti troverai nella condizione di poter applicare altri limiti notevoli.

Penso che questo possa interessarti: metodi di risoluzione per forme indeterminate. Dai un'occhiata ai metodi per forme di indecisione del tipo [1^{\infty}]...emt
Ringraziano: Pi Greco, JamesMatterson, Galois
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