Verifica di un limite da sinistra e per eccesso

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Verifica di un limite da sinistra e per eccesso #54812

avt
Lorenzomag1980
Punto
Salve!

Ho svolto questo limite due volte:

\lim_{x\to 0^-}{2^{\frac{1}{x}}}=0^+

La prima volta (credo di aver sbagliato a causa della pessima conoscenza delle disequazioni e dei logaritmi...) ho fatto questo:

Siccome x\in I^{-}\left(0\right)

0<2^{\frac{1}{x}}<\varepsilon

allora

\\ \begin{cases} 2^{\frac{1}{x}}>0\Leftrightarrow \forall x\in R \\ 2^{\frac{1}{x}}<\varepsilon \end{cases} \\ \\  \\ \Rightarrow  \ln{(2^{\frac{1}{x}})}<\ln{(\varepsilon)}\\ \\ \\  \Rightarrow \frac{\ln{(2)}}{x}<\ln{(\varepsilon)}\\ \\ \\ \Rightarrow \ln{(2)}>x\ln{(\varepsilon)}

Ponendo \varepsilon<1,

x>\frac{\ln{(2)}}{\ln{(\varepsilon)}}\Rightarrow  x>\log_{\varepsilon}{2}\Rightarrow \log_{\varepsilon}{2}<x<0

(Spero di aver usato correttamente le mille formule emt )

Ho chiesto ad un mio amico che mi ha detto "ti sei inventato una matematica nuova" e credo che abbia ragione, essendo molto bravo, ma non mi ha spiegato il perché...

La seconda volta che l'ho fatto, quando introduco il logaritmo l'ho introdotto di base 2:

\log_{2}\left(2^{\frac{1}{x}}\right)<\log_{2}\varepsilon \Rightarrow \frac{1}{x} <\log_{2}\varepsilon \Rightarrow x\log_{2}\varepsilon <1\Rightarrow x<\frac{1}{\log_{2}\varepsilon   }

Qui c'è qualcosa di sbagliato?

Vi ringrazio in anticipo per la comprensione!
 
 

Verifica di un limite da sinistra e per eccesso #54840

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lorenzomag1980,

sei giunto al risultato corretto, il problema è che hai proposto un passaggio delicatissimo che in generale non è lecito e che nel contesto della verifica dei limiti potrebbe essere lecito a patto di addurre tutte le giustificazioni del caso e di rivedere radicalmente l'impianto dimostrativo.

Eccolo

Lorenzomag1980 ha scritto:
\frac{\ln{2}}{x}<\ln{\varepsilon }\Rightarrow \ln{2}>x\ln{\varepsilon}


In generale un passaggio del genere è falso, perché non si conosce a priori il segno di x e non si può trattare x come una costante negativa.

Meglio procedere come si suol fare nella risoluzione delle disequazioni fratte. Da

\frac{\ln{(2)}}{x}<\ln{\varepsilon }

si porta il membro di destra a sinistra e si calcola il denominatore comune. Segue

\frac{\ln{(2)}-x\ln{(\varepsilon)}}{x}<0

A questo punto si studia il segno di numeratore e denominatore, separatamente, ponendoli entrambi maggiori di zero

\mbox{NUM}>0\ \to\ \ln{(2)}-x\ln{(\varepsilon)}>0\Rightarrow x\ln{(\varepsilon)}<\ln{(2)}

dato che \varepsilon si intende come quantità positiva e "molto piccola", avremo che \ln{(\varepsilon)} è una quantità negativa e "molto grande" (cfr grafico del logaritmo di x), dunque

\mbox{NUM}>0\ \to\ x>\frac{\ln{(2)}}{\ln{(\varepsilon)}}

Il denominatore è immediato

\mbox{DEN}>0\ \to\ x>0

Dal grafico dei segni possiamo vedere che l'intera frazione è negativa se e solo se \frac{\ln{(2)}}{\ln{(\varepsilon)}}<x<0, dove prendendo come \delta=\delta(\varepsilon)=-\frac{\ln{(2)}}{\ln{(\varepsilon)}} abbiamo proprio un valore "piccolo" (e positivo) che soddisfa la definizione di limite finito per eccesso per x tendente a una valore finito da sinistra

\forall\varepsilon>0\ \exists\delta=\delta(\varepsilon)\mbox{ t.c. se }0<x_0-x<\delta

\mbox{risulta che }0<f(x)-L<\varepsilon


I valori assoluti non servono proprio perché stiamo parlando di un limite per eccesso da sinistra. emt

Il tuo amico avrebbe però potuto almeno specificare la propria affermazione!... emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Lorenzomag1980, Galois

Verifica di un limite da sinistra e per eccesso #54855

avt
Lorenzomag1980
Punto
Grazie mille!

Ero infatti abbastanza perplesso sul quel passaggio, tuttavia non mi sono ancora chiare delle cosuccie:

1) essendo x\to 0^{-} , l'ho considerato sempre negativo, giusto?

2) Il secondo risultato al quale sono giunto, quindi, è sbagliato? Se posso chiederlo, perché?

Vi ringrazio ancora!

p.s. sono d'accordo sul fatto del mio amico! emt

Verifica di un limite da sinistra e per eccesso #54884

avt
Omega
Amministratore
Lorenzomag1980 ha scritto:
1) essendo x\Rightarrow 0^{-} , l'ho considerato sempre negativo, giusto?


Infatti, solo che va specificato a caratteri cubitali e in un modo un po' diverso rispetto a come hai fatto

Siccome x\in I^{-}\left(0\right)


Tu, supponendo che valga la disequazione relativa alle ordinate, in realtà vuoi dimostrare che x appartiene ad un intorno sinistro di 0.

Non puoi partire presupponendo la tesi, cioè che x\in I^{-}(0) (e qui nasce l'obiezione del tuo amico).

Quello che però puoi fare è supporre che il segno di x sia negativo, cioè supporre x<0 all'inizio della dimostrazione. A ben vedere non ci interessa cosa succede in per x>0, proprio perché vogliamo verificare il limite

\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0^{+}

dunque se supponiamo x<0 e se giungiamo alla tesi - cioè all'esistenza di un intorno il cui raggio dipende dall'\varepsilon scelto - allora è tutto ok. emt

Ho scritto non a caso

sei giunto al risultato corretto, il problema è che hai proposto un passaggio delicatissimo che in generale non è lecito e che nel contesto della verifica dei limiti potrebbe essere lecito a patto di addurre tutte le giustificazioni del caso e di rivedere radicalmente l'impianto dimostrativo.


ed è delicatissimo perché scrivere all'inizio della dimostrazione

Siccome x\in I^{-}\left(0\right)


oppure

Siccome x<0


oppure

Suppongo x\in I^{-}\left(0\right)


sarebbe sbagliato e comprometterebbe l'intera dimostrazione. Sarebbe invece del tutto lecito scrivere

Dato che voglio dimostrare che \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0^{+}, suppongo x<0


***

Per quanto riguarda

2) Il secondo risultato al quale sono giunto, quindi, è sbagliato? Se posso chiederlo, perché?


il discorso è analogo, inoltre c'è un errore nell'ultimo passaggio. Non è

x\log_{2}\varepsilon <1\Rightarrow x<\frac{1}{\log_{2}\varepsilon   }


è piuttosto

x\log_{2}\varepsilon <1\Rightarrow x>\frac{1}{\log_{2}\varepsilon   }
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Lorenzomag1980, Galois, CarFaby

Verifica di un limite da sinistra e per eccesso #54911

avt
Lorenzomag1980
Punto
Mi è perfettamente chiara la risposta la primo punto, grazie! emt

Tuttavia, se mi è permesso, avrei ancora dei dubbi... (se sono troppe le domande che sto ponendo, ditelo, mi zittisco! emt )

Il mio amico non criticava la questione del segno di x, ma mi ha detto che ho inventato delle proprietà dei logaritmi (ovviamente, non mi ha detto quali, ma ha detto che me le avrebbe spiegate tra una settimana! Però io sono impaziente! emt )

Ciò che non mi è chiaro è che, mentre nel primo tentativo il \delta\left(\varepsilon   \right) era uguale a \log_{\varepsilon}\left(2\right), nel secondo è \log_{2}\left(\varepsilon   \right)...

Quale dei due è corretto? Non mi sembra che siano interscambiabili...

Vi ringrazio nuovamente e mi scuso per le ulteriori domande!

Verifica di un limite da sinistra e per eccesso #54955

avt
Omega
Amministratore
Nei due tentativi hai usato due approcci diversi: nel primo caso hai applicato il logaritmo naturale, nel secondo il logaritmo in base 2 (qui la spiegazione sui logaritmi).

A parte ciò di cui ho già scritto, non vedo altri problemi nei calcoli. Hai usato correttamente le proprietà dei logaritmi e in particolare la formula del cambiamento di base.

Tra l'altro in ogni caso hai lavorato con disequazioni logaritmiche con basi maggiori di 1, quindi non va effettuata alcuna inversione simbolica.


Non per dubitare, ma...esiste questo amico? emt Ho come il sospetto che si tratti di un escamotage per chiedermi di commentare uno svolgimento preso da un esercizio svolto e di capire perché è diverso dal secondo (il tuo)...se così fosse non ci sarebbero comunque problemi per me. emt

Lo dico perché se fossi al posto tuo farei una cosa semplicissima. Prenderei il telefono e lo chiamerei per chiedergli: "Ma dove sarebbe l'errore?". emt
Ringraziano: Pi Greco

Re: Verifica di un limite da sinistra e per eccesso #54993

avt
Lorenzomag1980
Punto
Ok! Mi è chiaro!

Comunque non posso che considerare questo sospetto come un complimento!
L'amico esiste e, siccome ogni volta che glielo chiedevo mi "arronzava" aspettando di rispondermi quando ci saremmo visti, l'ho chiesto a voi!

Se hai pensato che fosse un esercizio svolto da un libro di testo, non posso che essere felice considerandolo ben svolto da me! emt
Ringraziano: Omega

Re: Verifica di un limite da sinistra e per eccesso #55015

avt
Omega
Amministratore
In tal caso molto bene! emt
Ringraziano: Lorenzomag1980
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Os