Verifica di limite destro e per eccesso

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Verifica di limite destro e per eccesso #54578

avt
Lorenzomag1980
Punto
Salve! Purtroppo, studiando i limiti, sto scoprendo di avere grandi difficoltà con argomenti basilari degli anni passati, qui ad esempio ho un limite da verificare da destra.

Il limite che mi tormenta stamattina è questo:

\lim_{x\to 3^{+} }{e^{\frac{2}{3-x}}}=0^{+}

Ciò che ho fatto è porre la funzione compresa tra 0 ed \varepsilon in quanto il limite è per eccesso e il valore limite è 0. Quindi ho risolto il sistema

\begin{cases}e^{\frac{2}{3-x}}>0\\e^{\frac{2}{3-x}}<\varepsilon \end{cases}

Dalla prima ho concluso che x\in R-\left\{3\right\} (Non ho trovato l'uguale sbarrato! XD)

Dalla seconda sono giunto ad una disequazione frazionaria:

\ln{e^{\frac{2}{3-x}}}<\ln{\varepsilon }\Leftrightarrow \frac{2}{3-x}<\ln{\varepsilon }\Leftrightarrow \frac{2-(3-x)\ln{\varepsilon }}{3-x}<0

Purtroppo, ora non so più proseguire. Non so neanche se ho fatto bene fino a qui!

Per quello che ho pensato, il limite non è verificato poiché per controllare il segno della frazione e quindi ponendo il numeratore maggiore di zero, sono arrivato ad avere come denominatore solamente il logaritmo in base naturale di epsilon, costringendomi a porre epsilon diverso da 1 per evitare annullare il denominatore e dimostrando quindi che il limite è falso perché per definizione possiamo prendere un qualunque epsilon maggiore di zero per verificarlo... giusto?

Please, help! emt
 
 

Re: Verifica di limite destro e per eccesso #54602

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lorenzomag1980, consideriamo il limite

\lim_{x\to 3^{+} }{e^{\frac{2}{3-x}}}=0^{+}

e vediamo di verificarlo: trattandosi di un limite finito da destra per x tendente ad un valore finito, prendiamo \varepsilon>0 e imponiamo

0<f(x)<\varepsilon

dove f(x)=e^{\frac{2}{3-x}}. Procedendo come hai indicato, la prima disequazione del sistema è verificata per ogni x nel dominio della funzione perché l'esponenziale è una funzione ovunque positiva sul proprio dominio. Lavorando algebricamente sulla seconda disequazione arriviamo a

\frac{2-3\ln{(\varepsilon)}+x\ln{(\varepsilon)}}{3-x}}<0

che trattiamo a tutti gli effetti come una disequazione fratta.

NUMERATORE: x\ln{(\varepsilon)}+2-3\ln{(\varepsilon)}>0, e ricaviamo

x\ln{(\varepsilon)}>3\ln{(\varepsilon)}-2

dividendo per \ln{(\varepsilon)}, e tenendo conto che si tratta di una quantità negativa perché sicuramente \varepsilon<1

x<\frac{3\ln{(\varepsilon)}-2}{\ln{(\varepsilon)}}

se dividiamo termine a termine

x<3-\frac{2}{\ln{(\varepsilon)}}

DENOMINATORE: 3-x>0 da cui x<3.

A noi interessano le soluzioni NEGATIVE della disequazione (basta guardare com'è scritta prima di studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore). Traccia il grafico dei segni e noterai che l'insieme delle soluzioni è l'intervallo

3<x<3-\frac{2}{\ln{(\varepsilon)}}

dato che \varepsilon si intende nell'intorno destro di 0, \ln{(\varepsilon)} è un numero "molto grande" e negativo (cfr grafico del logaritmo) e quindi \frac{2}{\ln{(\varepsilon)}} è un numero "molto piccolo" e negativo. In definitiva

3-\frac{2}{\ln{(\varepsilon)}}

è un numero nell'intorno destro di 3, e ponendo \delta=-\frac{2}{\ln{(\varepsilon)}} abbiamo verificato il limite:

\mbox{se }3<x<3+\delta\mbox{ segue }0<f(x)<\varepsilon

D'altra parte \delta=\delta(\varepsilon) dipende effettivamente da \varepsilon, quindi torna tutto. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Lorenzomag1980
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