Verifica di limite destro e per eccesso

Salve! Purtroppo, studiando i limiti, sto scoprendo di avere grandi difficoltà con argomenti basilari degli anni passati, qui ad esempio ho un limite da verificare da destra.

Il limite che mi tormenta stamattina è questo:



Ciò che ho fatto è porre la funzione compresa tra 0 ed in quanto il limite è per eccesso e il valore limite è 0. Quindi ho risolto il sistema



Dalla prima ho concluso che (Non ho trovato l'uguale sbarrato! XD)

Dalla seconda sono giunto ad una disequazione frazionaria:



Purtroppo, ora non so più proseguire. Non so neanche se ho fatto bene fino a qui!

Per quello che ho pensato, il limite non è verificato poiché per controllare il segno della frazione e quindi ponendo il numeratore maggiore di zero, sono arrivato ad avere come denominatore solamente il logaritmo in base naturale di epsilon, costringendomi a porre epsilon diverso da 1 per evitare annullare il denominatore e dimostrando quindi che il limite è falso perché per definizione possiamo prendere un qualunque epsilon maggiore di zero per verificarlo... giusto?

Please, help!

Ciao Lorenzomag1980, consideriamo il limite



e vediamo di verificarlo: trattandosi di un limite finito da destra per x tendente ad un valore finito, prendiamo e imponiamo



dove . Procedendo come hai indicato, la prima disequazione del sistema è verificata per ogni nel dominio della funzione perché l'esponenziale è una funzione ovunque positiva sul proprio dominio. Lavorando algebricamente sulla seconda disequazione arriviamo a



che trattiamo a tutti gli effetti come una disequazione fratta.

NUMERATORE: , e ricaviamo



dividendo per , e tenendo conto che si tratta di una quantità negativa perché sicuramente



se dividiamo termine a termine



DENOMINATORE: da cui .

A noi interessano le soluzioni NEGATIVE della disequazione (basta guardare com'è scritta prima di studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore). Traccia il grafico dei segni e noterai che l'insieme delle soluzioni è l'intervallo



dato che si intende nell'intorno destro di , è un numero "molto grande" e negativo (cfr grafico del logaritmo) e quindi è un numero "molto piccolo" e negativo. In definitiva



è un numero nell'intorno destro di , e ponendo abbiamo verificato il limite:



D'altra parte dipende effettivamente da , quindi torna tutto.