Verifica di limite destro e per eccesso

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#54578
avt
Lorenzomag1980
Punto

Salve! Purtroppo, studiando i limiti, sto scoprendo di avere grandi difficoltà con argomenti basilari degli anni passati, qui ad esempio ho un limite da verificare da destra.

Il limite che mi tormenta stamattina è questo:

lim_(x → 3^(+))e^((2)/(3−x)) = 0^(+)

Ciò che ho fatto è porre la funzione compresa tra 0 ed ε in quanto il limite è per eccesso e il valore limite è 0. Quindi ho risolto il sistema

e^((2)/(3−x)) > 0 ; e^((2)/(3−x)) < ε

Dalla prima ho concluso che x∈ R−3 (Non ho trovato l'uguale sbarrato! XD)

Dalla seconda sono giunto ad una disequazione frazionaria:

ln(e^((2)/(3−x))) < ln(ε) ⇔ (2)/(3−x) < ln(ε) ⇔ (2−(3−x)ln(ε))/(3−x) < 0

Purtroppo, ora non so più proseguire. Non so neanche se ho fatto bene fino a qui!

Per quello che ho pensato, il limite non è verificato poiché per controllare il segno della frazione e quindi ponendo il numeratore maggiore di zero, sono arrivato ad avere come denominatore solamente il logaritmo in base naturale di epsilon, costringendomi a porre epsilon diverso da 1 per evitare annullare il denominatore e dimostrando quindi che il limite è falso perché per definizione possiamo prendere un qualunque epsilon maggiore di zero per verificarlo... giusto?

Please, help! emt

#54602
avt
Omega
Amministratore

Ciao Lorenzomag1980, consideriamo il limite

lim_(x → 3^(+))e^((2)/(3−x)) = 0^(+)

e vediamo di verificarlo: trattandosi di un limite finito da destra per x tendente ad un valore finito, prendiamo ε > 0 e imponiamo

0 < f(x) < ε

dove f(x) = e^((2)/(3−x)). Procedendo come hai indicato, la prima disequazione del sistema è verificata per ogni x nel dominio della funzione perché l'esponenziale è una funzione ovunque positiva sul proprio dominio. Lavorando algebricamente sulla seconda disequazione arriviamo a

(2−3ln(ε)+xln(ε))/(3−x) < 0

che trattiamo a tutti gli effetti come una disequazione fratta.

NUMERATORE: xln(ε)+2−3ln(ε) > 0, e ricaviamo

xln(ε) > 3ln(ε)−2

dividendo per ln(ε), e tenendo conto che si tratta di una quantità negativa perché sicuramente ε < 1

x < (3ln(ε)−2)/(ln(ε))

se dividiamo termine a termine

x < 3−(2)/(ln(ε))

DENOMINATORE: 3−x > 0 da cui x < 3.

A noi interessano le soluzioni NEGATIVE della disequazione (basta guardare com'è scritta prima di studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore). Traccia il grafico dei segni e noterai che l'insieme delle soluzioni è l'intervallo

3 < x < 3−(2)/(ln(ε))

dato che ε si intende nell'intorno destro di 0, ln(ε) è un numero "molto grande" e negativo (cfr grafico del logaritmo) e quindi (2)/(ln(ε)) è un numero "molto piccolo" e negativo. In definitiva

3−(2)/(ln(ε))

è un numero nell'intorno destro di 3, e ponendo δ = −(2)/(ln(ε)) abbiamo verificato il limite:

se 3 < x < 3+δ segue 0 < f(x) < ε

D'altra parte δ = δ(ε) dipende effettivamente da ε, quindi torna tutto. emt

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Lorenzomag1980
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