Verifica di limite destro e per eccesso

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Verifica di limite destro e per eccesso #54578

Lorenzomag1980

Punto

Salve! Purtroppo, studiando i limiti, sto scoprendo di avere grandi difficoltà con argomenti basilari degli anni passati, qui ad esempio ho un limite da verificare da destra.

Il limite che mi tormenta stamattina è questo:

$\lim_{x\to 3^{+} }{e^{\frac{2}{3-x}}}=0^{+}$

Ciò che ho fatto è porre la funzione compresa tra 0 ed $\varepsilon$ in quanto il limite è per eccesso e il valore limite è 0. Quindi ho risolto il sistema

$\begin{cases}e^{\frac{2}{3-x}}>0\\e^{\frac{2}{3-x}}<\varepsilon \end{cases}$

Dalla prima ho concluso che $x\in R-\left\{3\right\}$ (Non ho trovato l'uguale sbarrato! XD)

Dalla seconda sono giunto ad una disequazione frazionaria:

$\ln{e^{\frac{2}{3-x}}}<\ln{\varepsilon }\Leftrightarrow \frac{2}{3-x}<\ln{\varepsilon }\Leftrightarrow \frac{2-(3-x)\ln{\varepsilon }}{3-x}<0$

Purtroppo, ora non so più proseguire. Non so neanche se ho fatto bene fino a qui!

Per quello che ho pensato, il limite non è verificato poiché per controllare il segno della frazione e quindi ponendo il numeratore maggiore di zero, sono arrivato ad avere come denominatore solamente il logaritmo in base naturale di epsilon, costringendomi a porre epsilon diverso da 1 per evitare annullare il denominatore e dimostrando quindi che il limite è falso perché per definizione possiamo prendere un qualunque epsilon maggiore di zero per verificarlo... giusto?

Please, help! emt

Re: Verifica di limite destro e per eccesso #54602

Omega

Amministratore

Ciao Lorenzomag1980, consideriamo il limite

$\lim_{x\to 3^{+} }{e^{\frac{2}{3-x}}}=0^{+}$

e vediamo di verificarlo: trattandosi di un limite finito da destra per x tendente ad un valore finito, prendiamo $\varepsilon>0$ e imponiamo

$0<f(x)<\varepsilon$

dove $f(x)=e^{\frac{2}{3-x}}$ . Procedendo come hai indicato, la prima disequazione del sistema è verificata per ogni

nel dominio della funzione perché l'esponenziale è una funzione ovunque positiva sul proprio dominio. Lavorando algebricamente sulla seconda disequazione arriviamo a

$\frac{2-3\ln{(\varepsilon)}+x\ln{(\varepsilon)}}{3-x}}<0$

che trattiamo a tutti gli effetti come una disequazione fratta.

NUMERATORE: $x\ln{(\varepsilon)}+2-3\ln{(\varepsilon)}>0$ , e ricaviamo

$x\ln{(\varepsilon)}>3\ln{(\varepsilon)}-2$

dividendo per $\ln{(\varepsilon)}$ , e tenendo conto che si tratta di una quantità negativa perché sicuramente $\varepsilon<1$

$x<\frac{3\ln{(\varepsilon)}-2}{\ln{(\varepsilon)}}$

se dividiamo termine a termine

$x<3-\frac{2}{\ln{(\varepsilon)}}$

DENOMINATORE:

da cui

.

A noi interessano le soluzioni NEGATIVE della disequazione (basta guardare com'è scritta prima di studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore). Traccia il grafico dei segni e noterai che l'insieme delle soluzioni è l'intervallo

$3<x<3-\frac{2}{\ln{(\varepsilon)}}$

dato che $\varepsilon$ si intende nell'intorno destro di

, $\ln{(\varepsilon)}$ è un numero "molto grande" e negativo (cfr grafico del logaritmo) e quindi $\frac{2}{\ln{(\varepsilon)}}$ è un numero "molto piccolo" e negativo. In definitiva

$3-\frac{2}{\ln{(\varepsilon)}}$

è un numero nell'intorno destro di

, e ponendo $\delta=-\frac{2}{\ln{(\varepsilon)}}$ abbiamo verificato il limite:

$\mbox{se }3<x<3+\delta\mbox{ segue }0<f(x)<\varepsilon$

D'altra parte $\delta=\delta(\varepsilon)$ dipende effettivamente da $\varepsilon$ , quindi torna tutto. emt

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Lorenzomag1980

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