Verifica limite infinito applicando la definizione

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Verifica limite infinito applicando la definizione #53513

rospina Punto	Ciao a tutti sono nuovo! Questo è il mio primo messaggio, volevo chiedervi aiuto con la verifica di un limite infinito! Domani ho il compito di matematica e nel ripetere mi sono imbattuto in questo esercizio: Limite per x -> (-3) di 2 / (x+3)^2 = +infinito Con il vostro favore, spero di ricevere al più presto una vostra risposta. Grazie e alla prossima!

Verifica limite infinito applicando la definizione #53520

Galois

Coamministratore

Ciao Rospina emt

Utilizzando la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore finito verifichiamo che:

$\lim_{x \to -3}{\frac{2}{(x+3)^2}}=+\infty$

Richiediamo quindi che:

$\frac{2}{(x+3)^2} > M$

che possiamo riscrivere come:

$\frac{(x+3)^2}{2} < \frac{1}{M}$

$(x+3)^2 < \frac{2}{M}$

Ora, senza star lì a sviluppare il quadrato, possiamo porre

ed avere:

$y^2 < \frac{2}{M}$

che è una disequazione di secondo grado le cui soluzioni son date da:

$-\sqrt{\frac{2}{M}} < y < \sqrt{\frac{2}{M}}$

Tornando ora alla nostra variabile abbiamo:

$-\sqrt{\frac{2}{M}} < x+3 < \sqrt{\frac{2}{M}}$

da cui:

$-3-\sqrt{\frac{2}{M}} < x < -3+\sqrt{\frac{2}{M}}$

Il limite è quindi verificato! Siamo in un intorno di -3 emt

Il passaggio in cui ho posto

lo si può risparmiare e fare tutto al volo. Ho deciso di farlo solo per una maggiore chiarezza espositiva emt

[Mod]La prossima volta, onde evitare che la tua discussione venga cancellata o ignorata, sforzati di proporre almeno un tentativo di risoluzione. Sarà molto più costruttivo per tutti, soprattutto per te emt

[/Mod]

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, rospina

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