Verifica limite infinito applicando la definizione

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Verifica limite infinito applicando la definizione #53513

avt
rospina
Punto
Ciao a tutti sono nuovo! Questo è il mio primo messaggio, volevo chiedervi aiuto con la verifica di un limite infinito! emt Domani ho il compito di matematica e nel ripetere mi sono imbattuto in questo esercizio:

Limite per x -> (-3) di 2 / (x+3)^2 = +infinito

Con il vostro favore, spero di ricevere al più presto una vostra risposta. emt
Grazie e alla prossima! emt
 
 

Verifica limite infinito applicando la definizione #53520

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Rospina emt

Utilizzando la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore finito verifichiamo che:

\lim_{x \to -3}{\frac{2}{(x+3)^2}}=+\infty

Richiediamo quindi che:

\frac{2}{(x+3)^2} > M

che possiamo riscrivere come:

\frac{(x+3)^2}{2} < \frac{1}{M}

(x+3)^2 < \frac{2}{M}

Ora, senza star lì a sviluppare il quadrato, possiamo porre y=x+3 ed avere:

y^2 < \frac{2}{M}


che è una disequazione di secondo grado le cui soluzioni son date da:

-\sqrt{\frac{2}{M}} < y < \sqrt{\frac{2}{M}}

Tornando ora alla nostra variabile abbiamo:

-\sqrt{\frac{2}{M}} < x+3 < \sqrt{\frac{2}{M}}

da cui:

-3-\sqrt{\frac{2}{M}} < x < -3+\sqrt{\frac{2}{M}}


Il limite è quindi verificato! Siamo in un intorno di -3 emt


Il passaggio in cui ho posto y=x+3 lo si può risparmiare e fare tutto al volo. Ho deciso di farlo solo per una maggiore chiarezza espositiva emt

[Mod]La prossima volta, onde evitare che la tua discussione venga cancellata o ignorata, sforzati di proporre almeno un tentativo di risoluzione. Sarà molto più costruttivo per tutti, soprattutto per te emt [/Mod]
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, rospina
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Os