Somma di funzioni trigonometriche periodica solo con coefficiente razionale

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Somma di funzioni trigonometriche periodica solo con coefficiente razionale #53244

avt
domokun
Punto
Ciao a tutti! Premetto che ho cercato abbastanza nel forum prima di creare questa discussione. Ho letto riguardo l'argomento ma non riesco a trovare precisamente quello che cerco. L'esercizio dice:

considerare la funzione

 y=\cos{\left(x\right)}+\sin{\left(a x\right)} ,

verifica che è periodica solo se a appartiene ai numeri razionali.
 
 

Somma di funzioni trigonometriche periodica solo con coefficiente razionale #53262

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao domokun,

la funzione f(x)= \cos(x)+\sin(ax) è somma di due funzioni periodiche. In particolare, la funzione coseno

y=\cos(x)

ha periodo T_1= 2\pi mentre la funzione

y=\sin(a x)

ha periodo T_2= \frac{2\pi}{|a|} con a\ne 0.

La funzione, somma di funzioni periodiche, è periodica se e solo se il rapporto tra i periodi è un numero razionale. Nel nostro caso:

\frac{T_1}{T_2}= \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{|a|}}= |a|

Il rapporto deve essere razionale, pertanto:

|a|\in \mathbb{Q}\iff a\in \mathbb{Q}

e questo dimostra l'asserto.

Se vuoi approfondire puoi leggere qui: operazioni tra funzioni periodiche. Ci sono tutti i teoremi che ti possono servire. Secondo me sono un po' avanzati per un ragazzo delle scuole superiori, ma per come la vedo io bisogna sempre soddisfare la sete di conoscenza.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Somma di funzioni trigonometriche periodica solo con coefficiente razionale #53280

avt
domokun
Punto
Grazie mille!
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Os