Rettangolo di area massima in un rombo #53081

avt
depe_
Cerchio
Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto nel risolvere questo problema di ottimizzazione in cui devo determinare il rettangolo di area massima inscritto in un rombo. Più precisamente:

"inscrivere in un rombo di diagonali 2a e 2b un rettangolo di area massima."

Girando sul web ho trovato diverse soluzioni, ma non ne ho capita nemmeno una. Per lo meno sono riuscito a capire che ci si basa sulle regole dei triangoli simili, però dopo mi blocco e non so più andare avanti.
 
 

Rettangolo di area massima in un rombo #53096

avt
matdom
Cerchio
Non riesco a postare la figura per cui cerco di utilizzare il piano degli assi cartesiani:
A(-a,0), B(0,b), C(a,0), D(0,-b), O(0,0)

Pongo come incognita m, col punto M(0,m). m sarà uguale a MO

Tracciata la retta y=m siano E e F le sue intersezioni coi 2 lati superiori del rombo.
Tracciata la retta y=-m siano G e H le sue intersezioni coi 2 lati inferiori del rombo.
Il nostro rettangolo sarà EFHG.
I 2 triangoli ABC e EBF sono simili, per cui:

 BM:EF=BO:AC

 (BO-MO):EF=b:2a

 (b-m):EF=b:2a

 \frac{EF}{b-m}=\frac{2a}{b}

 EF=\frac{2a\left ( b-m \right )}{b}

La superficie del nostro rettangolo sarà:

 S=EF\cdot EG=EF\cdot 2MO=\frac{2a\left ( b-m \right )}{b}\cdot 2m=\frac{4a}{b}\left ( bm-m^2 \right )

La derivata di S in m sarà:

 S'=\frac{4a}{b}\left ( b-2m \right ) ,

che si azzera per  m=\frac{b}{2}

Per cui la superficie massima sarà quella del rettangolo che si ottiene per  m=\frac{b}{2}
Ringraziano: Omega

Rettangolo di area massima in un rombo #53099

avt
Galois
Amministratore
Ciao depe_ emt

Iniziamo col farci un disegnino che aiuta sempre, rappresentando un rombo ed un qualsiasi rettangolo in esso iscritto emt

Figura - click!

Per ipotesi sappiamo che: AO=a, \ DO=b

Affinché un rettangolo abbia area massima, tali devono essere le sue dimensioni EF ed FG che però non hanno alcun legame diretto coi dati del problema.

Osservando che EF=2OK e FG=2FK, procediamo ragionando proprio su essi, ovvero ponendo: OK=x, \ \ FK=y

Mettiamo ora in moto qualche nozione geometrica.

I triangoli DFK e DAO sono simili per il primo criterio di similitudine, ragion per cui i loro elementi sono in proporzione. Fra questi noi sceglieremo quelli che ci interessano e imposteremo quindi la proporzione:

DK \ : \ DO = \ = \ FK \ : \ AO

Ora:

DK=DO-OK=b-x

OD=b

FK=y

AO=a

pertanto:

(b-x) \ : \ b \ = \ y \ : \ a

Per la proprietà fondamentale delle proporzioni abbiamo:

by=(b-x)a, da cui y=a-\frac{a}{b}x

La funzione da massimizzare è dunque:

f(x)=x \cdot y = x \cdot \left(a-\frac{a}{b}x\right) = ax-\frac{a}{b}x^2, \ x \in [0,b]

Osserva che per x=0 si degenera sulla diagonale AC, mentre per x=p degenera sulla diagonale BD

Ora non ti rimane altro se non trovare il punto di massimo di questa funzione

Se siamo un po' furbetti, si osserva immediatamente che tale funzione rappresenta una parabola con concavità verso il basso, dunque il massimo è assunto nel vertice.

A te la conclusione dell'esercizio emt
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os