Risolvere la verifica di un limite finito per x tendente ad un valore finito

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Risolvere la verifica di un limite finito per x tendente ad un valore finito #52975

avt
Lorenzomag1980
Punto
Salve!

Ho un problema con la comprensione del metodo di risoluzione della verifica di alcuni limiti finiti per x tendente ad un valore finito...

La definizione che il libro di testo mi propone è:

Si dice che la funzione f(x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x_{o} quando, comunque si scelga un numero reale positivo \varepsilon, si può determinare un intorno completo I di x_{o} tale che risulti

-\varepsilon<f(x)-l<\varepsilon

per ogni x appartenente ad I, diverso al più da x_{0}.




Data questa definizione, l'unico modo per definire se un limite è valido è quello di porre -\varepsilon<f(x)-l<\varepsilon e vedere se, mettendo la x in evidenza, ne risulta un intorno completo di x_{0}...

Esempio (del libro):

"Verifichiamo che \lim_{x\to 2}{(2x-1)}=3

Dobbiamo provare che, scelto \varepsilon>0, esiste un intorno completo di 2 per ogni x del quale si ha -\varepsilon <2x-4<\varepsilon \rightarrow 2-\frac{\varepsilon}{2}<x<2+\frac{\varepsilon}{2}

Abbiamo trovato un intorno circolare di 2 per cui è vera la condizione iniziale, quindi il limite è verificato."

Come posso verificare solo con queste nozioni questo limite:

\lim_{x\to 2}{(x^{2}+1)}=5 ?

Vi ringrazio in anticipo!

emt

p.s.
Come scrivo il valore assoluto con LaTex? emt
 
 

Risolvere la verifica di un limite finito per x tendente ad un valore finito #52984

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Lorenzomag1980 emt

In effetti la definizione di limite finito per x tendente ad un valore finito è proprio quella che proponi. Vediamo di applicarlo all'esempio. Per prima cosa fissiamo \varepsilon>0 e costruiamo la catena di disuguaglianze:

-\varepsilon<x^2+1-5<\varepsilon

4-\varepsilon<x^2<4+\varepsilon

\sqrt{4-\varepsilon}<x<\sqrt{4+\varepsilon}

e se lo rappresenti ti accorgerai che esso è un intorno di 2.
Ringraziano: Omega, Lorenzomag1980

Risolvere la verifica di un limite finito per x tendente ad un valore finito #53011

avt
Lorenzomag1980
Punto
Salve di nuovo!

Come posso rappresentarlo?

Grazie di nuovo! emt

Risolvere la verifica di un limite finito per x tendente ad un valore finito #53014

avt
Galois
Coamministratore
Ciao a tutti emt

Se vuoi rendertene conto graficamente e vedere che quello scritto da Ifrit è realmente un intorno di 2, pensa un attimo alla definizione di limite.

All'inizio trovi un quantificatore universale, cioè quello che c'è dopo deve valere per ogni \epsilon>0, e, con \epsilon, generalmente, si intende una quantità "molto piccola".

Prova quindi a sostituire \epsilon=0,1 (la scelta è del tutto arbitraria. Potresti mettere 1 così come 0,001)

Avremo:

\sqrt{4-\epsilon} = \sqrt{4-0,1}\sim 1,97

\sqrt{4+\epsilon} = \sqrt{4+0,1}\sim 2,02

Così dovrebbe essere evidente che siamo realmente in un intorno di 2. Ovviamente più \epsilon diventa piccolo più l'intorno si restringe attorno a 2 emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Lorenzomag1980
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Os