Verificare che una retta è un asintoto orizzontale utilizzando la definizione

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Verificare che una retta è un asintoto orizzontale utilizzando la definizione #52968

avt
JamesMatterson
Punto
Mi trovo di fronte al seguente quesito: verifica che la funzione y= (2|x| - 1) / x ha come asintoto orizzontale la retta di equazione y=2. La funzione ha altri asintoti orizzontali?

Devo quindi verificare che il limite per x-> +∞ o per x-> -∞ è effettivamente 2.
Ho quindi applicato la definizione di limite per verificare se effettivamente venga fuori un intorno di +∞ o -∞.

Ho dunque risolto la seguente diseguazione:

| f(x) - 2| < ε, con ε > 0

e ho trovato come soluzioni del relativo sistema i seguenti due intervalli:

x < - 1/ (4-ε) e x> 1/ε

Essi sono rispettivamente due intorni, uno di +∞ e l'altro di -∞. Tuttavia sorge una contraddizione, esplicitata anche dalla seconda richiesta del quesito: la funzione ha asintoto y=2 solo per x->+∞, mentre per x->-∞ l'asintoto è y=-2 !

Dunque la mia domanda è la seguente, come mai nella verifica del limite 2 ottengo entrambi gli intervalli quando ne è valido solo uno?

La risposta più plausibile è che abbia commesso un errore nell'impostazione della risoluzione, ma ho appena iniziato lo studio di questi argomenti per cui non riesco a comprendere in ogni caso dove e di quale entità. (naturalmente può anche essere che il mio sia un banale errore nella risoluzione della disequazione, anche se ho ricontrollato a dovere e non mi pare).

Dunque, mi rimando a voi: non è necessario che vi dilunghiate molto nella spiegazione, mostratemi solo dove è l'errore e poi provvederò a rimboccarmi le maniche!

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Verificare che una retta è un asintoto orizzontale utilizzando la definizione #52979

avt
Ifrit
Ambasciatore
Mi sa che c'è un problema con il valore assoluto che troviamo nella funzione. Ad ogni modo prima di procedere con la risoluzione, ti invito a leggere la lezione sul limite finito per x tendente a infinito

Per x\to +\infty

Fissiamo \varepsilon>0

la disequazione da risolvere diventa:

\left|\frac{2|x|-1}{x}-2\right|<\varepsilon

E' una disequazione con valore assoluto:

Poiché x\to +\infty allora x>0 di conseguenza la disequazione diventa:

\left|\frac{2x-1-2x}{x}\right|<\varepsilon

\left|\frac{-1}{x}\right|<\varepsilon

\frac{1}{x}<\varepsilon

da cui

x>\frac{1}{\varepsilon}

Lo stesso discorso non vale per x\to -\infty. In questo caso l'asintoto orizzontale non è y=2 ma y=-2.

Nota infatti che:

\lim_{x\to -\infty}\frac{2|x|-1}{x}= -2

Di conseguenza dovrai studiare la disequazione:

\left|\frac{2|x|-1}{x}+2\right|<\varepsilon
Ringraziano: Omega, JamesMatterson, Galois
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Os