Verificare che una retta è un asintoto orizzontale utilizzando la definizione

Mi trovo di fronte al seguente quesito: verifica che la funzione y= (2|x| - 1) / x ha come asintoto orizzontale la retta di equazione y=2. La funzione ha altri asintoti orizzontali?

Devo quindi verificare che il limite per x-> +∞ o per x-> -∞ è effettivamente 2.
Ho quindi applicato la definizione di limite per verificare se effettivamente venga fuori un intorno di +∞ o -∞.

Ho dunque risolto la seguente diseguazione:

| f(x) - 2| < ε, con ε > 0

e ho trovato come soluzioni del relativo sistema i seguenti due intervalli:

x < - 1/ (4-ε) e x> 1/ε

Essi sono rispettivamente due intorni, uno di +∞ e l'altro di -∞. Tuttavia sorge una contraddizione, esplicitata anche dalla seconda richiesta del quesito: la funzione ha asintoto y=2 solo per x->+∞, mentre per x->-∞ l'asintoto è y=-2 !

Dunque la mia domanda è la seguente, come mai nella verifica del limite 2 ottengo entrambi gli intervalli quando ne è valido solo uno?

La risposta più plausibile è che abbia commesso un errore nell'impostazione della risoluzione, ma ho appena iniziato lo studio di questi argomenti per cui non riesco a comprendere in ogni caso dove e di quale entità. (naturalmente può anche essere che il mio sia un banale errore nella risoluzione della disequazione, anche se ho ricontrollato a dovere e non mi pare).

Dunque, mi rimando a voi: non è necessario che vi dilunghiate molto nella spiegazione, mostratemi solo dove è l'errore e poi provvederò a rimboccarmi le maniche!

Grazie in anticipo!

Mi sa che c'è un problema con il valore assoluto che troviamo nella funzione. Ad ogni modo prima di procedere con la risoluzione, ti invito a leggere la lezione sul limite finito per x tendente a infinito

Per

Fissiamo

la disequazione da risolvere diventa:



E' una disequazione con valore assoluto:

Poiché allora x>0 di conseguenza la disequazione diventa:







da cui



Lo stesso discorso non vale per . In questo caso l'asintoto orizzontale non è ma .

Nota infatti che:



Di conseguenza dovrai studiare la disequazione: