Studio di funzione irrazionale con valore assoluto

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Studio di funzione irrazionale con valore assoluto #52256

avt
maverick847
Punto
Dovrei studiare una funzione irrazionale con un valore assoluto nel radicando. Grazie per l'aiuto e scusate se sbaglierò qualcosa ma sono un po' nel panico per un esercizio.
Studio di funzione

y=\sqrt{|x^2 - 1|}

Vi ringrazio!
 
 

Studio di funzione irrazionale con valore assoluto #52294

avt
Manuel1990
Sfera
Procediamo quindi con lo studio della funzione:

f(x) = \sqrt{|x^2 - 1|}

Dominio: poiché il radicando è in valore assoluto, sarà sempre maggiore o uguale a 0, quindi

\mbox{dom}(f(x)) = \mathbb{R}=(-\infty, +\infty)

Simmetrie: il dominio è simmetrico rispetto allo 0 dunque ha senso controllare la parità e la disparità di f(x)

f(-x) = \sqrt{|(-x)^2 - 1|} = \sqrt{|x^2 - 1|} = f(x)

La funzione è pari e presenta quindi la simmetria con l'asse delle ordinate.

Intersezioni con gli assi: determiniamo il punto di intersezione con l'asse delle ordinate, impostando il sistema

\begin{cases}y= \sqrt{|x^2 - 1|} \\ \\ x=0\end{cases}

che risolto conduce al punto (0,1).

Gli eventuali punti di intersezione con l'asse delle ascisse sono invece dati dal sistema

\begin{cases} y= \sqrt{|x^2 - 1|} \\ \\ y=0 \end{cases}

che conduce all'equazione irrazionale

\sqrt{|x^2-1|}=0\to |x^2-1|=0

Tenendo conto che il valore assoluto è nullo se e solo se lo è il suo argomento otteniamo l'equazione di secondo grado pura

x^2-1=0\to x=\pm 1

dunque il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse nei punti (-1, 0)\mbox{ e }(1, 0)

Segno della funzione: f(x) è certamente una funzione non negativa per via della radice quadrata.

Calcolo dei limiti agli estremi: dobbiamo calcolare i limiti per x\to +\infty e per x\to -\infty

\\ \lim_{x\to +\infty} f(x) = \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\sqrt{|x^2-1|}= + \infty \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty} f(x) =\lim_{x\to -\infty}\sqrt{|x^2-1|}= + \infty

Non possono esserci asintoti orizzontali, ma al loro posto potrebbero esserci degli asintoti obliqui. Al fine di controllarne l'esistenza, consideriamo il limite

m=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=

che definisce il coefficiente angolare dell'eventuale asintoto obliquo destro.

=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{|x^2-1|}}{x}=

per x\to +\infty si ha che l'argomento del modulo è positivo, dunque il valore assoluto può essere tranquillamente eliminato

=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}=

Trascuriamo -1 all'interno del radicando ed utilizziamo in seguito l'uguaglianza \sqrt{x^2}=|x| così che sia più facile studiare il limite

\\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{|x|}{x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{x}=1

Il limite che definisce il coefficiente angolare dell'eventuale asintoto obliquo destro è finito e diverso da zero. Continuiamo considerando il limite che definisce l'ordinata all'origine dell'asintoto obliquo

\\ q=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-m x]= \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}[\sqrt{|x^2-1|}- x]=

per x\to +\infty l'argomento del valore assoluto è positivo, pertanto il modulo può sparire senza lasciare traccia

= \lim_{x\to +\infty}[\sqrt{x^2-1}-x]=

Il limite è nella forma di indecisione +\infty-\infty e che possiamo risolvere razionalizzando, ossia moltiplicando e dividendo per \sqrt{x^2-1}+x

\\ = \lim_{x\to +\infty}[\sqrt{x^2-1}-x]\cdot\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}+x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}+x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}=\left[\frac{-1}{+\infty}\right]=0

L'asintoto obliquo destro ha dunque equazione

y=x

e che rappresenta la bisettrice del primo e terzo quadrante. Grazie alla simmetria possiamo concludere che y=-x è invece l'equazione dell'asintoto obliquo sinistro.

Calcolo della derivata prima: possiamo determinare l'espressione della derivata prima applicando la regola di derivazione per le funzioni composte

\\ f'(x)=\frac{d}{dx}\left[\sqrt{|x^2-1|}\right]= \\ \\ \\ = \frac{1}{2\sqrt{|x^2-1|}}\cdot\frac{d}{dx}[|x^2-1|]=

Ora deriviamo il valore assoluto con la relativa regola

\\ =\frac{1}{2\sqrt{|x^2-1|}}\cdot\frac{|x^2-1|}{x^2-1}\cdot\frac{d}{dx}[x^2-1]= \\ \\ \\ = \frac{x|x^2-1|}{(x^2-1)\sqrt{|x^2-1|}}

Perfetto, abbiamo a disposizione la derivata prima, ma attenzione, essa è ben definita per x\ne \pm 1 i quali si candidano come punti di non derivabilità.

Studiamo la derivabilità della funzione per x=1 costruendo prima il rapporto incrementale centrato in tale punto, dopodiché ne considereremo il limite.

Il rapporto incrementale centrato in 1 di f(x) è

\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\sqrt{|h^2+2h|}}{h}

Consideriamo il limite sinistro per h\to 0^{-}, ossia

\\ \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}= \\ \\ \\ = \lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{|h^2+2h|}}{h}=

Osserviamo che h\to 0 per valori negativi e per i quali h^2+2h è negativo, pertanto il valore assoluto sparisce, ma cambia il segno all'argomento

\\ =\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{-h^2-2h}}{h}= \\ \\ \\ = \lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{-h(h+2)}}{h}=

inoltre grazie alle proprietà delle radici sul prodotto, si ha

=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{-h}\cdot\sqrt{h+2}}{h}= \\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^{-}}\sqrt{h+2}\cdot\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{-h}}{h}=\sqrt{2}\cdot(-\infty)=-\infty

Per h\to 0^{+} invece si ha

\\ \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}= \\ \\ \\ = \lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{|h^2+2h|}}{h}=

Questa volta ci troviamo in un intorno destro di zero, nel quale h^2+2h è positivo. In questo caso il valore assoluto sparisce senza lasciare traccia

\\ =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{h^2+2h}}{h}= \\ \\ \\ = \lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{h}\sqrt{h+2}}{h}= \\ \\ \\ = \lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{h}}{h}\lim_{h\to 0^{+}}\sqrt{h+2}=\sqrt{2}(+\infty)=+\infty

Il limite destro e il limite sinistro sono entrambi infiniti e discordi, pertanto x=1 è un punto di non derivabilità per la funzione ed in particolare è un punto di cuspide. Mediante la simmetria possiamo concludere che anche x=-1 è un punto di cuspide.

Passiamo con lo studiare il segno della derivata prima, mediante il quale possiamo determinare gli intervalli di monotonia di f(x).

Poniamo f'(x)\ge 0 ossia consideriamo la disequazione fratta

\frac{x|x^2-1|}{(x^2-1)\sqrt{|x^2-1|}}\ge 0

e risolviamola osservando che i termini

|x^2-1|\ \ \ \mbox{ e } \ \ \ \sqrt{|x^2-1|}

sono entrambi positivi per x\ne \pm 1 e dunque non interferiscono con il segno della derivata prima che dipende esclusivamente dai fattori x\mbox{ e }x^2-1.

Studiamo il segno di ciascun fattore

\\ x\ge 0 \\ \\ x^2-1>0\to x<-1\vee x>1

e mediante la tabella dei segni concludiamo che la derivata prima è

- positiva negli intervalli

(-1, 0)\mbox{ e }(1, +\infty)

- negativa negli intervalli

(-\infty, -1)\mbox{ e }(0,1)

- nulla per x=0.

La funzione f(x) è pertanto strettamente crescente negli intervalli in cui la derivata prima è positiva ossia

(-1, 0)\mbox{ e }(1, +\infty)

mentre è strettamente decrescente negli intervalli in cui f'(x) è negativa, ossia

(-\infty, -1)\mbox{ e }(0,1)

x=0 è un punto stazionario ed in particolare è un punto di massimo relativo, a cui associamo il massimo, ossia

f(0)=1

Oltre al punto stazionario, vi sono altri due punti critici per la funzione e sono

x=\pm 1

entrambi punti di minimo assoluti come si evince dall'andamento di f(x). Il minimo vale

f(\pm 1)=0

Se clicchi sul titoletto scritto grande di ogni punto, verrai mandato nel link di YM sullo studio di funzioni corrispondente.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, _valerio_, Tuft, marikadamico
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