Scelta dell'intervallo per il metodo di bisezione

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Scelta dell'intervallo per il metodo di bisezione #52055

avt
Francesca
Punto
Ho un problema da risolvere con il metodo di bisezione ma non mi viene fornito dal testo l'intervallo scelto. L'equazione è

x^3-2x+2=0

Io ho scelto y=x^3 \ \mbox{e} \ y=2x-2 riscrivendo l'equazione come x^3=2x-2.

Il problema è che il risultato è -1,769 ma nel grafico alfa me lo trovo nel primo quadrante. Non riesco a capire dove sbaglio né come fare per scegliere l'intervallo.

Potreste aiutarmi?
 
 

Scelta dell'intervallo per il metodo di bisezione #52060

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Francesca,

consideriamo l'equazione polinomiale di grado 3

x^3-2x+2=0

Il problema chiede di determinare un intervallo in cui ricade un'unica soluzione dell'equazione.

Consideriamo la funzione polinomiale

f(x)=x^3-2x+2

essa è una funzione continua perché somma di funzioni continue su tutto l'asse reale. Per farci un'idea di dove cade lo zero di f(x), possiamo porre:

y=x^3 \ \mbox{e} \ y=2x-2

e procedere col metodo grafico.

y=x^3

rappresenta una funzione potenza con indice dispari, a volte nota col nome di "funzione cubica", mentre

y=2x-2

rappresenta una retta.

Disegniamo i rispettivi grafici

intersezione_cubica_retta


da cui si evince che l'unico punto di intersezione cade nell'intervallo [-2,-1]. In altri termini stiamo asserendo che la soluzione esatta \alpha che soddisfa l'equazione polinomiale si trova nell'intervallo [-2,-1].

Possiamo quindi procedere col metodo di bisezione per determinare un'approssimazione della soluzione esatta.

Poniamo

a_0=-2 \ \ \ ; \ \ \ b_0=-1 \ \ \ ; \ \ \ c_0=\frac{a_0+b_0}{2}=-\frac{3}{2}

dove con c_0 indichiamo il punto medio dell'intervallo [-2,-1].

Valutiamo la funzione nei valori definiti

\\ f(a_0)=f(-2)=(-2)^3-2(-2)+2=-2 \\ \\ f(b_0)=f(-1)=(-1)^3-2(-1)+2=3 \\ \\ f(c_0)=f\left(-\frac{3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2}\right)^3-2\left(-\frac{3}{2}\right)+2=\frac{13}{8}

Il punto c_0 rappresenta una (pessima) approssimazione della soluzione esatta \alpha

Procediamo con un'altra iterazione del metodo di bisezione, utilizzando l'intervallo

\left[-2, -\frac{3}{2}\right]

perché il teorema degli zeri garantisce che la soluzione esatta appartiene tale intervallo.

Poniamo dunque

a_1=-2 \ \ \ ; \ \ \ b_1=-\frac{3}{2} \ \ \ ; \ \ \ c_1=\frac{a_1+b_1}{2}=-\frac{7}{4}

e valutiamo la funzione in tali punti

\\ f(a_1)=(-2)^3-2(-2)+2=-2 \\ \\ f(b_1)=f\left(-\frac{3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}-2\left(-\frac{3}{2}\right)+2=\frac{13}{8}\simeq 1.625 \\ \\ \\ f(c_1)=f\left(-\frac{7}{4}\right)=\left(-\frac{7}{4}\right)^3-2\left(-\frac{7}{4}\right)+2=\frac{9}{64}\simeq 0.141

Il valore

c_1=-\frac{7}{4}\in\left[-2,-\frac{3}{2}\right]

rappresenta un'altra approssimazione della soluzione esatta \alpha.

Procediamo con un'altra iterazione del metodo di bisezione prendendo in considerazione l'intervallo

\left[-2,-\frac{7}{4}\right]

perché in esso vigono le ipotesi del teorema degli zeri.

Poniamo

a_2=-2 \ \ \ ; \ \ \ b_2=-\frac{7}{4} \ \ \ ; \ \ \ c_2=\frac{a_2+b_2}{2}=-\frac{15}{8}

e valutiamo la funzione nei punti

\\ f(a_2)=(-2)^3-2(-2)+2=-2 \\ \\ f\left(b_2\right)=f\left(-\frac{7}{4}\right)=\left(-\frac{7}{4}\right)^3-2\left(-\frac{7}{4}\right)+2=\frac{9}{64}\simeq 0.141 \\ \\ \\ f(c_2)=\left(-\frac{15}{8}\right)^3-2\left(-\frac{15}{8}\right)+2=-\frac{431}{512}\simeq -0.84

Il punto medio c_2=-\frac{15}{8} è un'ulteriore approssimazione della soluzione esatta.

Se ne hai bisogno qui trovi un esercizio svolto sul metodo di bisezione.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Francesca, CarFaby
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Os