Quadrato di superficie minima inscritto in un quadrato

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#52039
avt
depe_
Cerchio

Ciao! Il nostro prof ci ha dato da svolgere un problema di ottimizzazione delle funzioni sulla minimizzazione della superficie di un quadrato.

Il testo del problema è: trova il quadrato di superficie minima inscritto in un quadrato di lato a. [Risposta: lato = a/√(2)]

Potete aiutarmi in quanto non so da dove cominciare... l'unica idea che mi viene in mente è che la diagonale di un quadrato misura √(2), ma forse la mia è un'idea completamente sbagliata.

#52044
avt
Ifrit
Amministratore

Ciao depe_

Per prima cosa fai un disegno come questo

quadratoinscrittoinunquadrato

Osserva ora che il triangolo AEF è un triangolo rettangolo, con cateti AE = x e AF = a−x con x∈ [0, a].

Adesso possiamo esprimere il lato del quadrato inscritto EF utilizzando il teorema di Pitagora.

EF = √(AE^2+AF^2) = √(x^2+(a−x)^2)

L'area del quadrato inscritto è

f(x) = A_(Q_in) = EF^2 = x^2+(a−x)^2

Adesso studiamo la funzione f(x) in particolare i suoi massimi e minimi, vedi la lezione dedicata ai massimi e minimi relativi e assoluti per funzioni di una variabile.

Calcoliamo la derivata prima della funzione.

f'(x) = 2x−2 (a−x)

Impostiamo l'equazione:

f'(x) = 0 ⇔ 4x−2a = 0 ⇔ x = (a)/(2)

Il punto x = (a)/(2) si candida come punto di minimo.

Studiamo il segno della derivata prima:

f'(x) ≥ 0 ⇔ 4x−2a ≥ 0 ⇔ x ≥ (a)/(2)

La funzione f è quindi decrescente per 0 < x < (a)/(2) ed è crescente in (a)/(2) < x < a.

x = (a)/(2) è il punto che minimizza l'area del quadrato inscritto.

Il lato EF si ottiene sostituendo ad x il valore (a)/(2) nell'espressione

EF = √(x^2+(a−x)^2) = (a)/(√(2))

Se hai dubbi, chiedi pure!

Ringraziano: Omega, Pi Greco, depe_, Galois
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