Insiemi limitati inferiormente o superiormente senza usare i limiti

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Insiemi limitati inferiormente o superiormente senza usare i limiti #51874

avt
Mirko95
Punto
Ciao a tutti, vi volevo chiedere come si risolve questo esercizio sugli insiemi limitati o illimitati inferiormente e superiormente.

Io ho due insiemi e per ciascuno devo determinare se è limitato inferiormente, se è limitato superiormente oppure se è limitato. Eccoli...

 A = \left\{x \in R\ |\ x = (-1)^{n}\cdot \frac{n+1}{2n+3}, n\in N   \right\}

 B = \left\{x\in R\ |\ x = \frac{\ln(n)}{2}, n \in N - \left\{0\right\}  \right\}

Come si fa? Tenete conto che non ho ancora fatto i limiti e che il mio prof non ho capito cosa ha fatto, ma prima ha individuato dei valori sulla retta (per esempio, se n=0, n=1, ecc...).
Poi dopo ha cercato di raccogliere un n, non ho capito esattamente...

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Re: Insiemi limitati inferiormente o superiormente senza usare i limiti #51897

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mirko95,

ti informo subito del fatto che gli esercizi di questo tipo diventano molto più mansueti quando hai la possibilità di ricorrere ai limiti di successioni.

Per il momento ci accontentiamo di ricorrere a trucchetti algebrici e alla conoscenza dei grafici delle funzioni "elementarissime". emt

Consideriamo ad esempio il primo insieme. Vogliamo capire se esistono due numeri M,N\in\mathbb{R} tra cui sono compresi tutti gli elementi di A. Vale a dire

\mbox{per ogni }x\in A\mbox{ risulta }M\leq x\leq N


Se esiste M\in\mathbb{R} diremo che A è inferiormente limitato. In caso contrario diremo che è inferiormente illimitato.

Se esiste N\in\mathbb{R} diremo che A è superiormente limitato. In caso contrario diremo che è superiormente illimitato.

Se esistono entrambi, diremo che A è limitato.

Se non esistono entrambi, diremo che A è illimitato.


Lavoriamo sull'espressione che definisce gli elementi di A:

(-1)^n\frac{n+1}{2n+3}=

raccogliamo un termine n sia a numeratore che a denominatore

=(-1)^n\frac{n\left[1+\frac{1}{n}\right]}{n\left[2+\frac{3}{n}\right]}=(-1)^n\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}}

Ok. Ora per semplificare l'analisi consideriamo le due successioni che formano l'insieme e in particolare distinguiamo tra:

- i valori di n per cui (-1)^n=+1, cioè i pari;

- i valori di n per cui (-1)^n=-1, cioè i dispari;


Ragioniamo su

=+\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}}

con n pari. I valori \frac{1}{n},\frac{3}{n} sono certamente limitati, positivi e decrescenti al crescere di n pari, e vengono sommati a due valori finiti. Il numeratore potrà variare tra 1+1 e 1+0, il denominatore tra 2+3 e 2+0.

Ne deduciamo che la successione ad indici pari è limitata.

Ragionando in modo analogo per gli indici dispari puoi vedere che la successione ad indici dispari è limitata.

L'unione di due insiemi limitati è un insieme limitato, e tale è A.


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Prova tu a ragionare su B, l'analisi è molto più immediata. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, Mirko95
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Os