Un integrale definito (in realtà improprio)

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Un integrale definito (in realtà improprio) #51596

avt
depe_
Cerchio
Ciao a tutti gli amici del Forum, sono purtroppo costretto a chiedere ancora una volta il vostro aiuto nel calcolo di un integrale.

\int_{0}^{1}{\frac{x+1}{2x-1}dx}

Quello che ho capito è che bisogna risolverlo per sostituzione, però quando vado a porre z=2x-1 per calcolare la primitiva mi blocco perché non riesco a ricondurmi a una forma che riesco a risolvere. Mi potete aiutare?


[Edit - Omega] Il titolo viene modificato alla luce delle osservazioni successive.[/Edit]
 
 

Un integrale definito (in realtà improprio) #51605

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao depe_

L'integrale che proponi è improprio perché la funzione integranda non è definita per x= \frac{1}{2}. Dobbiamo spezzare l'integrale in due:

\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x+1}{2x-1}dx+ \int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{x+1}{2x-1}dx

Lasciamo perdere per il momento questa osservazione e risolviamo l'integrale indefinito

\int \frac{x+1}{2x-1}dx

E' un integrale di una funzione razionale fratta in cui il numeratore ha lo stesso grado del denominatore. Potremmo pensare di effettuare la la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore ma in questo caso è inutile, perché con qualche trucchetto ce la possiamo cavare con poco:

Moltiplichiamo e dividiamo per due l'integrale così da ottenere:

\frac{1}{2}\int \frac{2x+2}{2x-1}dx

Sommiamo e sottraiamo 1 al numeratore:

\frac{1}{2}\int \frac{2x-1+3}{2x-1}dx

Ora

\frac{2x-1+3}{2x-1}= \frac{2x-1}{2x-1}+\frac{3}{2x-1}= 1+\frac{3}{2x-1}


Quindi l'integrale da risolvere diventa:

\frac{1}{2}\int 1+\frac{3}{2x-1}dx=

Sfrutti la linearità dell'integrale:

\frac{1}{2}\left[\int dx +\int\frac{3}{2x-1}dx\right]

adesso riesci a concludere? Se hai problemi chiedi pure! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, depe_

Un integrale definito (in realtà improprio) #51617

avt
depe_
Cerchio
Ok grazie...ho trovato la primitiva che è

\frac{1}{2}\cdot  x\cdot  3\ln(2x-1)+c.

Ho sostituito 1 e 0 e alla fine ho trovato come risultato

\frac{1}{2}\cdot 3\ln{1}

E' corretto?

Un integrale definito (in realtà improprio) #51630

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti

@Depe_: guardati intorno. emt Per la conferma sul calcolo della primitiva

Integrali online - indefiniti

per il resto, trattandosi di due integrali impropri, non te la cavi così facilmente. Una volta trovata la primitiva devi ricorrere alla definizione di integrale improprio di seconda specie.

Se non hai ancora studiato gli integrali impropri, lascia perdere questo esercizio.
Se dovresti averli già studiati, ma ancora non l'hai fatto, ne riparliamo tra qualche giorno e tra qualche ora di (tuo) studio. YM è ricco di lezioni e di esercizi svolti. emt
Ringraziano: Galois
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Os