Valori dei parametri di una funzione conoscendo i limiti

Tra i compiti per casa mi sono ritrovato una funzione con due parametri di cui devo calcolare il valore a partire dai limiti della stessa. Il nostro prof ci ha dato questo esercizio:

Trova per quali valori di la funzione



tende all'infinito per e tende a 1 per .

Ho provato a calcolare i limiti ma poi con i parametri è un vero problema e non riesco a venirne fuori. Potete aiutarmi?

Il nostro compito consiste nel determinare i due parametri reali che soddisfano le relazioni



Consideriamo il secondo limite



che:

- vale 0 se indipendentemente dal valore di . Il valore non è accettabile perché non viene rispettata la condizione ;

- genera una forma indeterminata del tipo per .

Per risolvere la forma indeterminata mettiamo in evidenza l'infinito di ordine superiore sia al numeratore che al denominatore, ossia



e semplifichiamolo così da concludere che il limite è



Osserviamo che tutti i termini che hanno al loro denominatore tendono a 0.

Imponiamo che il limite sia 1 così da ottenere il valore da attribuire al parametro



Ora che conosciamo il valore del parametro dobbiamo sfruttare la condizione per determinare il valore di ma prima di tutto sostituiamo all'interno della funzione il valore



Calcoliamo il limite per



Il risultato del limite è infinito nel momento in cui il denominatore è nullo ossia se sussiste l'equazione di primo grado



Abbiamo a disposizione i valori da attribuire ai parametri affinché la funzione soddisfi le pretese del problema. Essa è



Abbiamo terminato!

Grazie molte!