Condizioni di esistenza funzione con logaritmo e seni

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Condizioni di esistenza funzione con logaritmo e seni #51343

avt
Mirko95
Punto
Ciao a tutti! Vi volevo chiedere le condizioni di esistenza di questa funzione fratta con il logaritmo naturale...Eccola:

y = \frac{1}{ \ln[{2\sin^2{\left(x\right)}-\sin{\left(2x\right)}}]}

Allora io ho posto i seguenti valori a sistema:

\ln[{2\sin^2{\left(x\right)}- \sin{\left(2x\right)}}] \not=0
2\sin^2{\left(x\right)}-\sin{\left(2x\right)} >0

A questo punto ho risolto la disuguaglianza...Ho trasformato lo zero in ln(1) e ho eguagliato gli argomenti...Così ho ottenuto

2\sin^2{\left(x\right)}-2\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}\not=1

Grazie alla prima regola fondamentale ho trasformato l'uno in sen^2(x) + cos^2(x).

A questo punto ho diviso tutti i membri per cos^2(x) ed ho ottenuto.

\tan^2{\left(x\right)} - \tan{\left(x\right)} - 1 \not=0

E ho trovato i due valori di x... A cui però corrispondono valori decimali.

Come faccio?

Il libro mi dà come soluzione..

\pi/4 + k\pi <x<\pi + k\pi e x \not = 3/8 \pi + k\pi/2

Chiedo scusa.. Non so il perchè questo post è diventato una discussione...
 
 

Condizioni di esistenza funzione con logaritmo e seni #51357

avt
frank094
Maestro
Ciao Mirko95,

le condizioni per il dominio da te trovate sono corrette! Infatti, dopo aver imposto che il logaritmo sia diverso da zero, dobbiamo semplicemente verificare che l'argomento di questo sia diverso da uno. In particolare

2\sin^2{(x)} - \sin{(2x)} \neq 1

Il tuo modo di procedere è senza dubbio corretto - ricorda, però, che quando dividi entrambi i membri per un termine, devi imporre che esso non sia mai uguale a zero! - ma a mio parere potresti procedere così.

- \sin{(2x)} \neq 1 - 2\sin^2{(x)}

Il secondo membro ti ricorda qualcosa? La formula di sdoppiamento del coseno ci dice che

\cos{(2x)} = \cos^2{(x)} - \sin^2{(x)}

Se ora sostituiamo al coseno elevato al quadrato l'identità goniometrica fondamentale otteniamo che

\cos{(2x)} = 1 - \sin^2{(x)} - \sin^2{(x)} = 1 - 2 \sin^2{(x)}


E questo è esattamente il secondo membro della tua ineguaglianza! Andiamo a sostituire ottenendo

- \sin{(2x)} \neq \cos{(2x)}


Per semplificarla ulteriormente - anche se non è necessario - si può porre z = 2x così da ottenere

- \sin{(z)} \neq \cos{(z)}


La soluzione di una equazione di questo tipo è banale: seno e coseno hanno lo stesso valore ( in modulo ) per tutti gli angoli del tipo

\alpha = \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2} \qquad k \in \mathbb{Z}


Tuttavia hanno valori discordanti soltanto nel secondo e nel quarto quadrante, ovvero

z \neq \frac{3\pi}{4} + k \pi


D'altra parte abbiamo posto z=2x perciò ricaviamoci le soluzioni per questa variabile!

2x \neq \frac{3\pi}{4} + k \pi \implies x \neq \frac{3\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}


E' tutto chiaro emt !?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Mirko95

Condizioni di esistenza funzione con logaritmo e seni #51381

avt
Mirko95
Punto
Scusami ancora ...
Ti volevo chiedere un'ultima cosa...

Riguardo alla disuguaglianza ho capito tutto ... Sei stato molto chiaro..

Adesso io ho la disequazione..
2\sin^2{\left(x\right)}-\sin{\left(2x\right)}>0

Attraverso le formule di duplicazione l'ho scomposta..
2\sin^2{\left(x\right)}-2\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}>0
2\sin{\left(x\right)}[\sin{\left(x\right)}-\cos{\left(x\right)}]>0

A questo punto abbiamo
\sin{\left(x\right)}>0 e
\sin{\left(x\right)}-\cos{\left(x\right)}>0

A questo punto noto che la seconda disequazione è una disequazione lineare... E quindi l'ho risolta con uno dei tre metodi...io ho usato il metodo grafico.
Facendo infine il grafico dei segni (con i più e i meno)..mi viene come soluzione
\pi/4+2k\pi < x < \pi +2k\pi e 5/4\pi+2k\pi<x<2\pi+2k\pi

Il libro invece dà come soluzione
\pi/4 +k\pi <x< \pi+k\pi
Ringraziano: Ifrit

Condizioni di esistenza funzione con logaritmo e seni #51382

avt
frank094
Maestro
La tua soluzione è corretta e corrisponde in pieno a quella proposta dal libro! Nota infatti che

\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}

\pi + \pi = 2 \pi

Ancora una volta il tuo libro ha deciso di esprimere la soluzione completa in maniera più elegante e compatta. Ad ogni modo le due sono del tutto equivalenti, quindi non hai fatto nessun errore emt!
Ringraziano: Omega, Ifrit, Mirko95
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