Condizioni di esistenza per funzione fratta e trigonometrica

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Condizioni di esistenza per funzione fratta e trigonometrica #51313

avt
Mirko95
Punto
Ciao a tutti, sono sempre io che ci disturbo, vi volevo mostrare questa funzione in cui bisogna determinare le condizioni di esistenza. Eccola:

y = {2} / [ \cos^2{\left(x\right)} - \sin^2{\left(x\right)} - 2\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)}]

Allora l'unica condizione che ho imposto è questa:

\cos^2{\left(x\right)} - \sin^2{\left(x\right)} - 2\sin{\left(x\right)}\cos{\left(x\right)} \not= 0

Io ho diviso tutti i membri per cos^2(x), ed ho ottenuto

\tan^2{\left(x\right)} + 2\tan{\left(x\right)} - 1 \not= 0

Poi ho trovato due valori di tangente di x

\tan{\left(x\right)} = -1+\sqrt{2}

e

\tan{\left(x\right)} = -1-\sqrt{2}

A questo punto però se trasformo i risultati in radianti ottengo x = \pi/8 e x = -3/8 \pi. Il libro però mi dà una unica soluzione, questa: x \neq \pi/8 + k\pi/2.

Nell'attesa di una risposta vi ringrazio tantissimo in anticipo!
 
 

Condizioni di esistenza per funzione fratta e trigonometrica #51315

avt
frank094
Maestro
Ciao Mirko95,

le soluzioni che tu ottieni, tenendo conto del periodo della funzione \tan(x) sono

x \neq \frac{\pi}{8} + k\pi

x \neq - \frac{3 \pi}{8} + k\pi

Queste corrispondono perfettamente con il risultato del libro; tieni conto infatti che le soluzioni sono distanti proprio novanta gradi, per ogni valore che si assegni al parametro k.
Praticamente il libro ti suggerisce di formalizzarle in una sola soluzione, infatti nota che

x \neq \frac{\pi}{8} + k \frac{\pi}{2}

Assume il valore della tua prima soluzione quando k = 1, assume il valore della tua seconda soluzione ( con k = 1 ) quando k = 2, assume il valore della tua prima soluzione ( con k = 1 ) quando k = 3 e così via.

E' tutto abbastanza chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Manuel1990, Mirko95

Condizioni di esistenza per funzione fratta e trigonometrica #51317

avt
Mirko95
Punto
Ho capito tutto, grazie mille frank094. Sei stato molto gentile...
Ringraziano: frank094
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Os