Campo di esistenza di funzione fratta con radici

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Campo di esistenza di funzione fratta con radici #51277

avt
Mirko95
Punto
Ciao a tutti, vi volevo chiedere a proposito del campo di esistenza di questa funzione. Eccola

y = \frac{1}{\sqrt{\sin{\left(x\right)}} + \sqrt{1 - \tan{\left(x\right)}} }

Spero di averla scritta corretta. Allora io ho messo a sistema i seguenti valori..

 \sqrt{\sin{\left(x\right)}} + \sqrt{1 - \tan{\left(x\right)}} \neq 0

x \neq \pi/2 + 2k\pi

\sin{\left(x\right)} \geq 0

\tan{\left(x\right)} \leq 1

A questo punto però non so come si risolve la prima disuguaglianza...Come faccio a dire che la somma di due radici è diversa da zero? Non mi conviene portare una delle due radici a destra del l'uguale perché diventerebbe negativa.

Come faccio?

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente
 
 

Campo di esistenza di funzione fratta con radici #51303

avt
frank094
Maestro
Ciao Mirko95,

in realtà la questione è molto più semplice di quello che sembra! Il denominatore della funzione

D = \sqrt{\sin{(x)}} + \sqrt{1 - \tan{(x)}}

è somma di due termini sotto radice, ovvero di due termini sicuramente maggiori o uguali di zero ( condizione che hai correttamente imposto ).
Questo vuol dire che il denominatore è uguale a zero solo e soltanto quando entrambi i termini valgono zero; sarà perciò sufficiente sostituire la condizione

 \sqrt{\sin{\left(x\right)}} + \sqrt{1 - \tan{\left(x\right)}} \not = 0

con la condizione che i due termini non siano mai nulli contemporaneamente!

Chiaramente, non esiste nessun punto in cui il seno è nullo e la tangente vale uno. Se hai altri dubbi non esitare a chiedere emt !
Ringraziano: Omega, Galois, Mirko95

Campo di esistenza di funzione fratta con radici #51306

avt
Mirko95
Punto
Aahh ... Ho capito... Volevo però chiederti una cosa perchè non mi ricordo più il grafico di tangente di x <= 1...

Ho tracciato la circonferenza goniometrica e ho tracciato una retta verticale su +1...
Poi però non so quali valori prendere...

Campo di esistenza di funzione fratta con radici #51310

avt
frank094
Maestro
Come ben sai, la funzione \tan{(x)} ha periodo pari a \pi, pertanto è sufficiente studiarla nei primi due quadranti.

Ricorda che la funzione tangente è definita come

\tan{(x)} = \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}

Perciò nel secondo quadrante - in cui il seno è sempre positivo e il coseno sempre negativo - il valore della tangente sarà sempre e comunque minore o uguale di 1.
Nel primo quadrante, invece, la tangente raggiunge il valore di 1 esattamente a quarantacinque gradi: come facciamo, però, a capire quale intervallo prendere? E' molto semplice: tra i quarantacinque e i novanta gradi il seno aumenta ( fino ad arrivare al valore massimo di 1 ) mentre il coseno diminuisce: in tal modo la tangente aumenta il suo valore e sarà sicuramente maggiore di 1!
Perciò ne risulta che l'intervallo che ci interessa è quello compreso tra zero e quarantacinque gradi. In particolare possiamo dire che la soluzione della disequazione

\tan{(x)} \leq 1

è data da

0 + k \pi \leq x \leq \frac{\pi}{4} + k \pi \qquad \cup \qquad \frac{\pi}{2} + k \pi < x \leq \pi + k\pi

E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Pi Greco, Mirko95
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Os